Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.80.221.163
Accès aux édit. élec. : SémCong

Annales scientifiques de l'ENS

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Série 4 :
Série 3 :
Série 2 :
Série 1 :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 44 (2011)

Parutions < série 4, 44

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 44, fascicule 4 (2011)

Sébastien Blachère, Peter Haïssinsky, Pierre Mathieu
Harmonic measures versus quasiconformal measures for hyperbolic groups
Annales scientifiques de l'ENS 44, fascicule 4 (2011), 683-721

Télécharger cet article : Fichier PDF
Acheter l'ouvrage

Résumé :
Mesures harmoniques et mesures quasiconformes sur les groupes hyperboliques
On établit une formule de la dimension de la mesure harmonique d'une marche aléatoire de loi de support fini et symétrique sur un groupe hyperbolique. On caractérise aussi les lois pour lesquelles la dimension est maximale. Notre approche repose sur la distance de Green, une distance qui permet de développer un point de vue géométrique sur les marches aléatoires et, en particulier, d'interpréter les mesures harmoniques comme des mesures quasiconformes.

Mots-clefs : Groupes hyperboliques, marches aléatoires sur les groupes, mesures harmoniques, mesures quasiconformes, dimension d'une mesure, bord de Martin, mouvement brownien, distance de Green

Abstract:
We establish a dimension formula for the harmonic measure of a finitely supported and symmetric random walk on a hyperbolic group. We also characterize random walks for which this dimension is maximal. Our approach is based on the Green metric, a metric which provides a geometric point of view on random walks and, in particular, which allows us to interpret harmonic measures as quasiconformal measures on the boundary of the group.

Keywords: Hyperbolic groups, random walks on groups, harmonic measures, quasiconformal measures, dimension of a measure, Martin boundary, Brownian motion, Green metric

Class. math. : 20F67, 60B15 (11K55, 20F69, 28A75, 60J50, 60J65)


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Ancona, Alano
Positive harmonic functions and hyperbolicity
in Potential theory—surveys and problems (Prague, 1987)
Lecture Notes in Math. 1344 (1988) 1–23
Math Reviews MR973878
2
Ancona, Alano
Théorie du potentiel sur les graphes et les variétés
in École d'été de Probabilités de Saint-Flour XVIII—1988
Lecture Notes in Math. 1427 (1990) 1–112
Math Reviews MR1100282 (92g:31012)
Zentralblatt 719.60074
3
Anderson, Michael T. and Schoen, Richard
Positive harmonic functions on complete manifolds of negative curvature
Ann. of Math. 121 (1985) 429–461
Math Reviews MR794369 (87a:58151)
Zentralblatt 587.53045
4
Ballmann, Werner
On the Dirichlet problem at infinity for manifolds of nonpositive curvature
Forum Math. 1 (1989) 201–213
Math Reviews MR990144 (90j:53059)
Zentralblatt 661.53026
5
Ballmann, Werner and Ledrappier, François
Discretization of positive harmonic functions on Riemannian manifolds and Martin boundary
in Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992)
Sémin. Congr. 1 (1996) 77–92
Math Reviews MR1427756 (97m:58207)
Zentralblatt 885.53037
6
Besson, G. and Courtois, G. and Gallot, S.
Entropies et rigidités des espaces localement symétriques de courbure strictement négative
Geom. Funct. Anal. 5 (1995) 731–799
Math Reviews MR1354289 (96i:58136)
Zentralblatt 851.53032
8
Blachère, Sébastien and Brofferio, Sara
Internal diffusion limited aggregation on discrete groups having exponential growth
Probab. Theory Related Fields 137 (2007) 323–343
Math Reviews MR2278460 (2008b:60210)
Zentralblatt 1106.60078
10
Bonk, M. and Schramm, O.
Embeddings of Gromov hyperbolic spaces
Geom. Funct. Anal. 10 (2000) 266–306
Math Reviews MR1771428 (2001g:53077)
Zentralblatt 972.53021
11
Bourdon, Marc and Pajot, Hervé
Quasi-conformal geometry and hyperbolic geometry
in Rigidity in dynamics and geometry (Cambridge, 2000)
(2002) 1–17
Math Reviews MR1919393 (2003i:53056)
Zentralblatt 1002.30012
12
Bowen, Rufus and Series, Caroline
Markov maps associated with Fuchsian groups
Publ. Math. I.H.É.S. 50 (1979) 153–170
Math Reviews MR556585 (81b:58026)
Zentralblatt 439.30033
13
Connell, Chris and Muchnik, Roman
Harmonicity of quasiconformal measures and Poisson boundaries of hyperbolic spaces
Geom. Funct. Anal. 17 (2007) 707–769
Math Reviews MR2346273 (2009e:60179)
Zentralblatt 1166.60323
14
Coornaert, Michel
Mesures de Patterson-Sullivan sur le bord d'un espace hyperbolique au sens de Gromov
Pacific J. Math. 159 (1993) 241–270
Math Reviews MR1214072 (94m:57075)
Zentralblatt 797.20029
15
Deroin, Bertrand and Kleptsyn, Victor and Navas, Andrés
On the question of ergodicity for minimal group actions on the circle
Mosc. Math. J. 9 (2009) 263–303
Math Reviews MR2568439 (2010m:37041)
16
Derriennic, Yves
Sur le théorème ergodique sous-additif
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 281 (1975) AA985–A988
Math Reviews MR0396903 (53 \#763)
17
Dynkin, E. B.
The boundary theory of Markov processes (discrete case)
Uspehi Mat. Nauk 24 (1969) 3–42
Math Reviews MR0245096 (39 \#6408)
18
Guivarc'h, Yves
Sur la loi des grands nombres et le rayon spectral d'une marche aléatoire
in Conference on Random Walks (Kleebach, 1979)
Astérisque 74 (1980) 47–98
Math Reviews MR588157 (82g:60016)
19
Guivarc'h, Yves and Le Jan, Yves
Sur l'enroulement du flot géodésique
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 311 (1990) 645–648
Math Reviews MR1081425 (92b:58175)
Zentralblatt 727.58033
20
Guivarc'h, Yves and Le Jan, Yves
Asymptotic winding of the geodesic flow on modular surfaces and continued fractions
Ann. Sci. École Norm. Sup. 26 (1993) 23–50
Math Reviews MR1209912 (94a:58157)
22
Heinonen, Juha
Lectures on analysis on metric spaces
Springer, 2001
Math Reviews MR1800917 (2002c:30028)
Zentralblatt 985.46008
23
Hunt, G. A.
Markoff chains and Martin boundaries
Illinois J. Math. 4 (1960) 313–340
Math Reviews MR0123364 (23 \#A691)
Zentralblatt 094.32103
24
Kamanovich, V. A.
Brownian motion and harmonic functions on covering manifolds. An entropic approach
Soviet Math. Dokl. 33 (1986) 812–816
Math Reviews MR852647 (88k:58163)
25
Kaimanovich, Vadim A.
Invariant measures of the geodesic flow and measures at infinity on negatively curved manifolds, Hyperbolic behaviour of dynamical systems
Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Théor. 53 (1990) 361–393
Math Reviews MR1096098 (92b:58176)
Zentralblatt 725.58026
26
Kaimanovich, Vadim A.
Discretization of bounded harmonic functions on Riemannian manifolds and entropy
in Potential theory (Nagoya, 1990)
(1992) 213–223
Math Reviews MR1167237 (94b:31007)
Zentralblatt 768.58054
27
Kaimanovich, Vadim A.
Ergodicity of harmonic invariant measures for the geodesic flow on hyperbolic spaces
J. reine angew. Math. 455 (1994) 57–103
Math Reviews MR1293874 (95g:58130)
Zentralblatt 803.58032
28
Kaimanovich, Vadim A.
Hausdorff dimension of the harmonic measure on trees
Ergodic Theory Dynam. Systems 18 (1998) 631–660
Math Reviews MR1631732 (99g:60123)
Zentralblatt 960.60047
29
Kaimanovich, Vadim A.
The Poisson formula for groups with hyperbolic properties
Ann. of Math. 152 (2000) 659–692
Math Reviews MR1815698 (2002d:60064)
Zentralblatt 984.60088
30
Kapovich, Ilya and Benakli, Nadia
Boundaries of hyperbolic groups
in Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001)
Contemp. Math. 296 (2002) 39–93
Math Reviews MR1921706 (2004e:20075)
Zentralblatt 1044.20028
31
Karlsson, Anders and Ledrappier, François
Propriété de Liouville et vitesse de fuite du mouvement brownien
C. R. Math. Acad. Sci. Paris 344 (2007) 685–690
Math Reviews MR2334676 (2009c:58048)
Zentralblatt 1122.60071
32
Kingman, J. F. C.
The ergodic theory of subadditive stochastic processes
J. Roy. Statist. Soc. Ser. B 30 (1968) 499–510
Math Reviews MR0254907 (40 \#8114)
Zentralblatt 182.22802
33
Le Prince, Vincent
Dimensional properties of the harmonic measure for a random walk on a hyperbolic group
Trans. Amer. Math. Soc. 359 (2007) 2881–2898
Math Reviews MR2286061 (2008e:60243)
Zentralblatt 1126.60036
34
Le Prince, Vincent
A relation between dimension of the harmonic measure, entropy and drift for a random walk on a hyperbolic space
Electron. Commun. Probab. 13 (2008) 45–53
Math Reviews MR2386061 (2009g:60063)
Zentralblatt 1189.60094
35
Ledrappier, François
Ergodic properties of Brownian motion on covers of compact negatively-curve manifolds
Bol. Soc. Brasil. Mat. 19 (1988) 115–140
Math Reviews MR1018929 (91e:58210)
36
Ledrappier, François
Harmonic measures and Bowen-Margulis measures
Israel J. Math. 71 (1990) 275–287
Math Reviews MR1088820 (92a:58107)
Zentralblatt 728.53029
37
Ledrappier, François
Some asymptotic properties of random walks on free groups
in Topics in probability and Lie groups: boundary theory
CRM Proc. Lecture Notes 28 (2001) 117–152
Math Reviews MR1832436 (2002g:60116)
Zentralblatt 994.60073
38
Lyons, Russell
Equivalence of boundary measures on covering trees of finite graphs
Ergodic Theory Dynam. Systems 14 (1994) 575–597
Math Reviews MR1293410 (95g:58132)
Zentralblatt 821.58008
39
Lyons, Terry and Sullivan, Dennis
Function theory, random paths and covering spaces
J. Differential Geom. 19 (1984) 299–323
Math Reviews MR755228 (86b:58130)
Zentralblatt 554.58022
40
Mairesse, Jean and Mathéus, Frédéric
Random walks on free products of cyclic groups
J. Lond. Math. Soc. 75 (2007) 47–66
Math Reviews MR2302729 (2007m:60125)
Zentralblatt 1132.60054
41
Mattila, Pertti
Geometry of sets and measures in Euclidean spaces
Cambridge Univ. Press, 1995 Fractals and rectifiability
Math Reviews MR1333890 (96h:28006)
Zentralblatt 819.28004
43
Pinsky, Mark A.
Stochastic Riemannian geometry
in Probabilistic analysis and related topics, Vol. 1
(1978) 199–236
Math Reviews MR0501385 (58 \#18752)
Zentralblatt 452.60083
44
Prat, Jean-Jacques
Étude asymptotique et convergence angulaire du mouvement brownien sur une variété à courbure négative
C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B 280 (1975) AA1539–A1542
Math Reviews MR0388557 (52 \#9393)
Zentralblatt 309.60052
46
Vershik, A. M.
Dynamic theory of growth in groups: entropy, boundaries, examples
Russian Math. Surveys 55 (2000) 667–733
Math Reviews MR1786730 (2001m:37019)
Zentralblatt 991.37005
47
Woess, Wolfgang
Random walks on infinite graphs and groups
Cambridge Univ. Press, 2000
Math Reviews MR1743100 (2001k:60006)
Zentralblatt 951.60002
48
Young, Lai Sang
Dimension, entropy and Lyapunov exponents
Ergodic Theory Dynam. Systems 2 (1982) 109–124
Math Reviews MR684248 (84h:58087)
Zentralblatt 523.58024