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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 44 (2011)

Parutions < série 4, 44

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 44, fascicule 4 (2011)

Amnon Neeman
Explicit cogenerators for the homotopy category of projective modules over a ring
Annales scientifiques de l'ENS 44, fascicule 4 (2011), 607-629

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Résumé :
Cogénérateurs explicites pour la catégorie homotopique des modules projectifs sur un anneau
Soit R un anneau. Dans deux articles antérieurs [], on a étudié la catégorie d'homotopie K(R-Proj) des R-modules projectifs. On a construit un ensemble de générateurs pour cette catégorie et on a démontré que la catégorie est compactement générée de niveau _1 pour chaque anneau R, mais qu'elle n'est pas toujours compactement générée. Toutefois, pour R un anneau suffisamment raisonnable, la catégorie K(R-Proj) est compactement générée. On a étudié l'inclusion j_!^:K(R-Proj)K(R-Flat) et la sous-catégorie orthogonale S=K(R-Proj)^. On a même montré que l'inclusion SK(R-Flat) admet un adjoint à droite ; il s'ensuit qu'une certaine application naturelle K(R-Proj)S^ est une équivalence. Dans le présent article, on produit un ensemble de cogénérateurs pour K(R-Proj). Plus précisément, cet ensemble de cogénérateurs appartient naturellement à la catégorie équivalenteS^K(R-Proj); on peut l'utiliser pour obtenir une nouvelle démonstration du fait que l'inclusion SK(R-Flat) admet un adjoint à droite. Mais il y a déjà plusieurs autres démonstrations de ce fait.

Mots-clefs : Catégories triangulées, générateurs, cogénérateurs, modules plats, modules projectifs

Abstract:
Let R be a ring. In two previous articles [] we studied the homotopy category K(R-Proj) of projective R-modules. We produced a set of generators for this category, proved that the category is _1-compactly generated for any ring R, and showed that it need not always be compactly generated, but is for sufficiently nice R. We furthermore analyzed the inclusionj_!^:K(R-Proj)K(R-Flat) and the orthogonal subcategory S=K(R-Proj)^. And we even showed that the inclusion SK(R-Flat) has a right adjoint; this forces some natural map to be an equivalence K(R-Proj)S^. In this article we produce a set of cogenerators for K(R-Proj). More accurately, this set of cogenerators naturally lies in the equivalent S^K(R-Proj); it can be used to give yet another proof of the fact that the inclusion SK(R-Flat) has a right adjoint. But by now several proofs of this fact already exist.

Keywords: Triangulated categories, generators, cogenerators, flat modules, projective modules

Class. math. : 18E30; 18G05


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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