Considérons le problème d'uniformisation suivant. Prenons deux familles de déformation holomorphes (paramétrées par un ensemble analytique défini dans un voisinage de $0$ dans $\mathbb C^p$ pour $p>0$) ou différentiables (paramétrées par un voisinage de $0$ dans $\mathbb R^p$ pour $p>0$) de variétés compactes complexes. Supposons-les ponctuellement isomorphes, c'est-à-dire que, pour tout point $t$ de l'espace des paramètres, la fibre en $t$ de la première famille est biholomorphe à la fibre en $t$ de la deuxième famille. Sous quelle(s) condition(s) les deux familles sont-elles localement isomorphes en $0$ ? Dans cet article, nous donnons une condition suffisante dans le cas de familles holomorphes. Nous montrons ensuite que, de façon surprenante, la condition n'est pas suffisante dans le cas des familles différentiables. Nous décrivons également plusieurs types de contre-exemples et donnons quelques éléments de ifications de ces contre-exemples. Ces résultats reposent sur une étude géométrique de l'espace de Kuranishi d'une variété compacte complexe.