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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 44 (2011)

Parutions < série 4, 44

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 44, fascicule 3 (2011)

Sergey Lysenko
Geometric theta-lifting for the dual pair SO_2m, Sp_2n
Annales scientifiques de l'ENS 44, fascicule 3 (2011), 427-493

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Résumé :
Thêta-lifting géométrique pour la paire duale SO_2m, Sp_2n
Soit X une courbe projective lisse sur un corps algébriquement clos de caractéristique >2. On considère la paire duale H=SO_2m, G=Sp_2n sur XH est déployé. Notons Bun_G et Bun_H les champs de modules des G-torseurs et des H-torseurs sur X. Le faisceau thêta Aut_G,H sur Bun_GBun_H donne lieu aux foncteurs de thêta-lifting F_G: D(Bun_H)D(Bun_G) et F_H: D(Bun_G)D(Bun_H) entre les catégories dérivées correspondantes. On décrit la relation entre ces foncteurs et les opérateurs de Hecke. Dans deux cas particuliers cela devient la fonctorialité de Langlands géométrique pour cette paire (cas partout non ramifié). À savoir, on montre que pour n=m le foncteurF_G: D(Bun_H)D(Bun_G) commute avec les opérateurs de Hecke par rapport à l'inclusion des groupes duaux de Langlands H SO_2n SO_2n+1G. Pour m=n+1 on montre que le foncteur F_H: D(Bun_G)D(Bun_H) commute avec les opérateurs de Hecke par rapport à l'inclusion des groupes duaux de Langlands G SO_2n+1SO_2n+2 H. Dans d'autres cas la relation est plus complexe et fait intervenir le SL_2 d'Arthur. Comme une étape de la preuve, on établit le thêta-lifting géométrique pour la paire duale GL_m, GL_n. Nos résultats globaux sont déduits de résultats locaux correspondants, qui géométrisent un théorème de Rallis.

Mots-clefs : Thêta-lifting, Langlands géométrique, fonctorialité de Langlands, faisceau thêta

Abstract:
Let X be a smooth projective curve over an algebraically closed field of characteristic >2. Consider the dual pair H=SO_2m, G=Sp_2n over X with H split. Write Bun_G and Bun_H for the stacks of G-torsors and H-torsors on X. The theta-kernel Aut_G,H on Bun_GBun_H yields theta-lifting functors F_G: D(Bun_H)D(Bun_G) and F_H: D(Bun_G)D(Bun_H) between the corresponding derived categories. We describe the relation of these functors with Hecke operators. In two particular cases these functors realize the geometric Langlands functoriality for the above pair (in the non ramified case). Namely, we show that for n=m the functorF_G: D(Bun_H)D(Bun_G) commutes with Hecke operators with respect to the inclusion of the Langlands dual groups H SO_2n SO_2n+1G. For m=n+1 we show that the functor F_H: D(Bun_G)D(Bun_H) commutes with Hecke operators with respect to the inclusion of the Langlands dual groups G SO_2n+1SO_2n+2 H. In other cases the relation is more complicated and involves the SL_2 of Arthur. As a step of the proof, we establish the geometric theta-lifting for the dual pair GL_m, GL_n. Our global results are derived from the corresponding local ones, which provide a geometric analog of a theorem of Rallis.

Keywords: Theta-lifting, geometric Langlands, Langlands functoriality, theta-sheaf

Class. math. : 11R39; 14H60


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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