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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 44 (2011)

Parutions < série 4, 44

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 44, fascicule 1 (2011)

Robert Pollack, Glenn Stevens
Overconvergent modular symbols and p-adic L-functions
Annales scientifiques de l'ENS 44, fascicule 1 (2011), 1-42

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Résumé :
Symboles modulaires surconvergents et fonctions L p-adiques
Cet article est une exploration constructive des rapports entre les symboles modulaires classiques et les symboles modulaires p-adiques surconvergents. Plus précisément, nous donnons une preuve constructive d'un théorème de contrôle (Théorème thm:comp_intro) du deuxième auteur [19] ; ce théorème démontre l'existence et l'unicité des liftings propres des symboles propres modulaires classiques de pente non-critique. Comme application, nous décrivons un algorithme en temps polynomial pour le calcul explicite des fonctions L p-adiques associées dans ce cas-là. Dans le cas de pente critique, le théorème de contrôle échoue toujours à produire des liftings propres (voir Théorème thm:criticalslope et [16] pour un succédané), mais l'algorithme réussit néanmoins à produire des fonctions L p-adiques. Dans les deux dernières sections, nous présentons des données numériques pour plusieurs exemples de pente critique et examinons le polygone de Newton des fonctions L p-adiques associées.

Abstract:
This paper is a constructive investigation of the relationship between classical modular symbols and overconvergent p-adic modular symbols. Specifically, we give a constructive proof of a control theorem (Theorem thm:comp_intro) due to the second author [19] proving existence and uniqueness of overconvergent eigenliftings of classical modular eigensymbols of non-critical slope. As an application we describe a polynomial-time algorithm for explicit computation of associated p-adic L-functions in this case. In the case of critical slope, the control theorem fails to always produce eigenliftings (see Theorem thm:criticalslope and [16] for a salvage), but the algorithm still ``succeeds'' at producing p-adic L-functions. In the final two sections we present numerical data in several critical slope examples and examine the Newton polygons of the associated p-adic L-functions.

Class. math. : 11F67


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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