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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 43 (2010)

Parutions < série 4, 43

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 43, fascicule 5 (2010)

Patrick Gérard, Sandrine Grellier
The cubic Szegő equation
Annales scientifiques de l'ENS 43, fascicule 5 (2010), 761-810

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Résumé :
L'équation de Szegő cubique
On considère l'équation hamiltonienne suivante sur l'espace de Hardy du cercle i_tu=(|u|^2u), désigne le projecteur de Szegő. Cette équation est un cas modèle d'équation sans aucune propriété dispersive. On établit qu'elle admet une paire de Lax et une infinité de lois de conservation en involution, et qu'elle peut être approchée par une suite de systèmes hamiltoniens de dimension finie complètement intégrables. Néanmoins, on met en évidence des phénomènes d'instabilité illustrant la dégénérescence de cette structure complètement intégrable. Enfin, on caractérise les ondes progressives de ce système.

Mots-clefs : Équations de Schrödinger non linéaires, systèmes hamiltoniens intégrables, paires de Lax, opérateurs de Hankel

Abstract:
We consider the following Hamiltonian equation on the L^2 Hardy space on the circle, i_tu=(|u|^2u), where is the Szegő projector. This equation can be seen as a toy model for totally non dispersive evolution equations. We display a Lax pair structure for this equation. We prove that it admits an infinite sequence of conservation laws in involution, and that it can be approximated by a sequence of finite dimensional completely integrable Hamiltonian systems. We establish several instability phenomena illustrating the degeneracy of this completely integrable structure. We also classify the traveling waves for this system.

Keywords: Nonlinear Schrödinger equations, Integrable Hamiltonian systems, Lax pairs, Hankel operators

Class. math. : 35B15, 37K10, 47B35


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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