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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 43 (2010)

Parutions < série 4, 43

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 43, fascicule 4 (2010)

Eric Lombardi, Laurent Stolovitch
Normal forms of analytic perturbations of quasihomogeneous vector fields: Rigidity, invariant analytic sets and exponentially small approximation
Annales scientifiques de l'ENS 43, fascicule 4 (2010), 659-718

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Résumé :
Formes normales des perturbations analytiques des champs de vecteurs quasi-homogènes: rigidité, ensembles d'invariants analytiques et approximation exponentiellement petite
Dans cet article, nous étudions des germes de champs de vecteurs holomorphes qui sont des perturbations d'ordres supérieurs de champs de vecteurs quasi-homogènes au voisinage de l'origine de C^n, point fixe des champs considérés. Nous définissons une condition diophantienne sur le champ quasihomogène initial S qui assure que si une telle perturbation de S est formellement conjuguée à S alors elle l'est aussi holomorphiquement. Nous étudions le problème de mise sous forme normale relativement à S. Nous donnons une condition suffisante assurant l'existence d'une transformation holomorphe vers une forme normale. Lorsque cette condition n'est pas satisfaite, nous montrons néanmoins, sous une condition raisonable, l'existence d'une normalisation formelle Gevrey vers une forme normale Gevrey. Enfin, nous montrons l'existence d'une approximation exponentiellement bonne de la dynamique par une forme normale partielle.

Mots-clefs : Équations différentielles, petits diviseurs, résonances, formes normales

Abstract:
In this article, we study germs of holomorphic vector fields which are ``higher order'' perturbations of a quasihomogeneous vector field in a neighborhood of the origin of C^n, fixed point of the vector fields. We define a ``Diophantine condition'' on the quasihomogeneous initial part S which ensures that if such a perturbation of S is formally conjugate to S then it is also holomorphically conjugate to it. We study the normal form problem relatively to S. We give a condition on S that ensure that there always exists an holomorphic transformation to a normal form. If this condition is not satisfied, we also show, that under some reasonable assumptions, each perturbation of S admits a Gevrey formal normalizing transformation to a Gevrey formal normal form. Finally, we give an exponentially good approximation by a partial normal form.

Keywords: Differential equations, small divisors, resonances, normal forms

Class. math. : 37F50, 37F75, 37J40, 37J15, 34F15, 34C20, 34M35


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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