Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.162.199.125
Accès aux édit. élec. : SémCong

Annales scientifiques de l'ENS

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Série 4 :
Série 3 :
Série 2 :
Série 1 :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 43 (2010)

Parutions < série 4, 43

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 43, fascicule 4 (2010)

Florent Balacheff, Stéphane Sabourau
Diastolic and isoperimetric inequalities on surfaces
Annales scientifiques de l'ENS 43, fascicule 4 (2010), 579-605

Télécharger cet article : Fichier PDF
Acheter l'ouvrage

Résumé :
Inégalités diastoliques et isopérimétriques sur les surfaces
Nous démontrons une inégalité universelle entre la diastole, définie par un procédé de minimax sur l'espace des 1-cycles, et l'aire d'une surface riemannienne fermée. De manière informelle, nous prouvons que toute surface riemannienne fermée peut être balayée par une famille de multi-lacets dont les longueurs sont contrôlées par l'aire de la surface. Cette inégalité diastolique, qui repose sur une majoration de la constante de Cheeger, fournit en particulier un procédé effectif pour trouver de courtes géodésiques fermées sur une 2-sphère. Nous déduisons que toute surface riemannienne peut être décomposée en deux domaines de même aire dont la longueur du bord commun est majorée à l'aide de l'aire de la surface. Nous comparons également divers invariants riemanniens sur la 2-sphère afin de souligner le rôle spécial joué par la diastole.

Mots-clefs : Constante de Cheeger, géodésiques fermées, inégalités sans courbure, diastole, inégalités isopérimétriques, 1-cycles

Abstract:
We prove an universal inequality between the diastole, defined using a minimax process on the one-cycle space, and the area of closed Riemannian surfaces. Roughly speaking, we show that any closed Riemannian surface can be swept out by a family of multi-loops whose lengths are bounded in terms of the area of the surface. This diastolic inequality, which relies on an upper bound on Cheeger's constant, yields an effective process to find short closed geodesics on the two-sphere, for instance. We deduce that every Riemannian surface can be decomposed into two domains with the same area such that the length of their boundary is bounded from above in terms of the area of the surface. We also compare various Riemannian invariants on the two-sphere to underline the special role played by the diastole.

Keywords: Cheeger constant, closed geodesics, curvature-free inequalities, diastole, isoperimetric inequalities, one-cycles

Class. math. : 53C23; 53C20, 58E10


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Almgren, Frederick Justin Jr.
The homotopy groups of the integral cycle groups
Topology 1 (1962) 257–299
Math Reviews MR0146835
2
Almgren, Frederick Justin Jr.
The theory of varifolds
(1965) mimeographed notes, Princeton
3
Balacheff, Florent
Sur des problèmes de la géométrie systolique
in Séminaire de Théorie Spectrale et Géométrie. Vol. 22. Année 2003–2004
Sémin. Théor. Spectr. Géom. 22 (2004) 71–82
Math Reviews MR2136136
Zentralblatt 1083.53043
4
Balacheff, Florent
A local optimal diastolic inequality on the two-sphere
arXiv:0811.0330
5
Brooks, Robert
The spectral geometry of a tower of coverings
J. Differential Geom. 23 (1986) 97–107
Math Reviews MR840402
Zentralblatt 576.58033
6
Calabi, Eugenio and Cao, Jian Guo
Simple closed geodesics on convex surfaces
J. Differential Geom. 36 (1992) 517–549
Math Reviews MR1189495
7
Cheeger, Jeff
A lower bound for the smallest eigenvalue of the Laplacian
in Problems in analysis (Papers dedicated to Salomon Bochner, 1969)
(1970) 195–199
Math Reviews MR0402831
8
Croke, Christopher B.
Area and the length of the shortest closed geodesic
J. Differential Geom. 27 (1988) 1–21
Math Reviews MR918453
Zentralblatt 642.53045
9
Federer, Herbert
Geometric measure theory
Springer New York Inc., New York, 1969
Math Reviews MR0257325
10
Fleming, Wendell H.
Flat chains over a finite coefficient group
Trans. Amer. Math. Soc. 121 (1966) 160–186
Math Reviews MR0185084
11
Gromov, Mikhael
Filling Riemannian manifolds
J. Differential Geom. 18 (1983) 1–147
Math Reviews MR697984
Zentralblatt 515.53037
12
Gromov, Mikhael
Width and related invariants of Riemannian manifolds
Astérisque 163-164 (1988) 93–109
Math Reviews MR999972
Zentralblatt 684.53036
13
Guth, Larry
Lipschitz maps from surfaces
Geom. Funct. Anal. 15 (2005) 1052–1099
Math Reviews MR2221158
14
Guth, Larry
The width-volume inequality
Geom. Funct. Anal. 17 (2007) 1139–1179
Math Reviews MR2373013
Zentralblatt 1141.53039
15
Katz, Mikhail G.
The filling radius of two-point homogeneous spaces
J. Differential Geom. 18 (1983) 505–511
Math Reviews MR723814
Zentralblatt 529.53032
16
Katz, Mikhail G. and Sabourau, Stéphane
Entropy of systolically extremal surfaces and asymptotic bounds
Ergodic Theory Dynam. Systems 25 (2005) 1209–1220
Math Reviews MR2158402
Zentralblatt 1097.53027
17
Klingenberg, Wilhelm
Lectures on closed geodesics
Springer, 1978
Math Reviews MR0478069
Zentralblatt 397.58018
18
Li, Peter and Yau, Shing Tung
A new conformal invariant and its applications to the Willmore conjecture and the first eigenvalue of compact surfaces
Invent. Math. 69 (1982) 269–291
Math Reviews MR674407
Zentralblatt 503.53042
19
Nabutovsky, A. and Rotman, R.
The length of the shortest closed geodesic on a 2-dimensional sphere
Int. Math. Res. Not. 2002 (2002) 1211–1222
Math Reviews MR1903953
Zentralblatt 1003.53030
20
Papasoglu, Panos
Cheeger constants of surfaces and isoperimetric inequalities
Trans. Amer. Math. Soc. 361 (2009) 5139–5162
Math Reviews MR2515806
Zentralblatt pre05613025
21
Pitts, Jon T.
Regularity and singularity of one dimensional stationary integral varifolds on manifolds arising from variational methods in the large
in Symposia Mathematica, Vol. XIV (Convegno di Teoria Geometrica dell'Integrazione e Varietà Minimali, INDAM, Roma, Maggio 1973)
(1974) 465–472
Math Reviews MR0423172
Zentralblatt 312.49017
22
Pitts, Jon T.
Existence and regularity of minimal surfaces on Riemannian manifolds
Princeton Univ. Press, 1981
Math Reviews MR626027
Zentralblatt 462.58003
23
de Rham, Georges
Variétés différentiables. Formes, courants, formes harmoniques
Hermann et Cie, Paris, 1955
Math Reviews MR0068889
Zentralblatt 065.32401
24
Rotman, R.
The length of a shortest closed geodesic on a two-dimensional sphere and coverings by metric balls
Geom. Dedicata 110 (2005) 143–157
Math Reviews MR2136024
Zentralblatt 1080.53031
25
Rotman, R.
The length of a shortest closed geodesic and the area of a 2-dimensional sphere
Proc. Amer. Math. Soc. 134 (2006) 3041–3047
Math Reviews MR2231630
Zentralblatt 1098.53035
26
Sabourau, Stéphane
Sur quelques problèmes de la géométrie systolique
thèse de doctorat, Univ. de Montpellier II (2001)
27
Sabourau, Stéphane
Filling radius and short closed geodesics of the 2-sphere
Bull. Soc. Math. France 132 (2004) 105–136
Math Reviews MR2075918
Zentralblatt 1064.53020
28
Sabourau, Stéphane
Local extremality of the Calabi-Croke sphere for the length of the shortest closed geodesic
arXiv:0907.2223
29
Treibergs, Andrejs
Estimates of volume by the length of shortest closed geodesics on a convex hypersurface
Invent. Math. 80 (1985) 481–488
Math Reviews MR791672
Zentralblatt 563.53035
30
Colin de Verdière, Y. and Marin, A.
Triangulations presque équilatérales des surfaces
J. Differential Geom. 32 (1990) 199–207
Math Reviews MR1064872
31
Yang, Paul C. and Yau, Shing Tung
Eigenvalues of the Laplacian of compact Riemann surfaces and minimal submanifolds
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 7 (1980) 55–63
Math Reviews MR577325
Zentralblatt 446.58017