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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 43 (2010)

Parutions < série 4, 43

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 43, fascicule 2 (2010)

Jeffrey Diller, Romain Dujardin, Vincent Guedj
Dynamics of meromorphic maps with small topological degree III: geometric currents and ergodic theory
Annales scientifiques de l'ENS 43, fascicule 2 (2010), 235-278

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Résumé :
Dynamique des applications méromorphes de petit degré topologique III : courants géométriques et théorie ergodique
Nous poursuivons notre étude de la dynamique des applications rationnelles de petit degré topologique sur les surfaces complexes projectives. Dans un travail précédent nous avons construit une mesure ergodique naturelle, dite d'équilibre, sous des hypothèses très générales. Nous étudions maintenant en détail les propriétés dynamiques de cette mesure: nous donnons des bornes optimales pour ses exposants de Lyapounov, montrons qu'elle est d'entropie maximale et qu'elle a une structure produit dans l'extension naturelle. Sous une hypothèse supplémentaire naturelle, nous montrons que cette mesure décrit la répartition des points selles. Ceci généralise des résultats qui étaient auparavant connus dans le cas inversible et vient ainsi s'ajouter au petit nombre de situations où une mesure invariante naturelle pour un système dynamique non inversible est vraiment bien comprise.

Mots-clefs : Dynamique des applications méromorphes, courants laminaires et tissés, entropie, extension naturelle

Abstract:
We continue our study of the dynamics of mappings with small topological degree on projective complex surfaces. Previously, under mild hypotheses, we have constructed an ergodic ``equilibrium'' measure for each such mapping. Here we study the dynamical properties of this measure in detail: we give optimal bounds for its Lyapunov exponents, prove that it has maximal entropy, and show that it has product structure in the natural extension. Under a natural further assumption, we show that saddle points are equidistributed towards this measure. This generalizes results that were known in the invertible case and adds to the small number of situations in which a natural invariant measure for a non-invertible dynamical system is well-understood.

Keywords: dynamics of meromorphic mappings, laminar and woven currents, entropy, natural extension

Class. math. : 37F10, 32H50, 32U40, 37B40, 37D99


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Bedford, Eric and Diller, Jeffrey
Energy and invariant measures for birational surface maps
Duke Math. J. 128 (2005) 331–368
Math Reviews MR2140266
Zentralblatt 1076.37031
2
Bedford, Eric and Smillie, John
Polynomial diffeomorphisms of C2. III. Ergodicity, exponents and entropy of the equilibrium measure
Math. Ann. 294 (1992) 395–420
Math Reviews MR1188127
3
Bedford, Eric and Lyubich, Mikhail and Smillie, John
Polynomial diffeomorphisms of <b>C</b>2. IV. The measure of maximal entropy and laminar currents
Invent. Math. 112 (1993) 77–125
Math Reviews MR1207478
4
Bedford, Eric and Lyubich, Mikhail and Smillie, John
Distribution of periodic points of polynomial diffeomorphisms of C2
Invent. Math. 114 (1993) 277–288
Math Reviews MR1240639
5
Briend, Jean-Yves
Propriété de Bernoulli pour les extensions naturelles des endomorphismes de CPk
Ergodic Theory Dynam. Systems 21 (2001) 1001–1007
Math Reviews MR1849598
6
Briend, Jean-Yves and Duval, Julien
Deux caractérisations de la mesure d'équilibre d'un endomorphisme de Pk(C)
Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 93 (2001) 145–159
Math Reviews MR1863737
7
Cantat, Serge
Dynamique des automorphismes des surfaces K3
Acta Math. 187 (2001) 1–57
Math Reviews MR1864630
Zentralblatt 1045.37007
8
de Thélin, Henry
Sur la construction de mesures selles
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 56 (2006) 337–372
Math Reviews MR2226019
Zentralblatt 1100.37029
9
de Thélin, Henry
Sur les exposants de Lyapounov des applications méromorphes
Invent. Math. 172 (2008) 89–116
Math Reviews MR2385668
Zentralblatt 1139.37037
10
de Thélin, Henry and Vigny, Gabriel
Entropy of meromorphic maps and dynamics of birational maps
to appear in Mémoires de la SMF
11
Diller, Jeffrey and Dujardin, Romain and Guedj, Vincent
Dynamics of meromorphic maps with small topological degree I: from cohomology to currents
to appear in Indiana Univ. Math. J
12
Diller, Jeffrey and Dujardin, Romain and Guedj, Vincent
Dynamics of meromorphic maps with small topological degree II: energy and invariant measure
to appear in Comment. Math. Helvet
13
Diller, Jeffrey and Favre, Charles
Dynamics of bimeromorphic maps of surfaces
Amer. J. Math. 123 (2001) 1135–1169
Math Reviews MR1867314
Zentralblatt 1112.37308
14
Dinh, Tien-Cuong
Suites d'applications méromorphes multivaluées et courants laminaires
J. Geom. Anal. 15 (2005) 207–227
Math Reviews MR2152480
Zentralblatt 1085.37039
15
Dinh, Tien-Cuong and Sibony, Nessim
Dynamique des applications d'allure polynomiale
J. Math. Pures Appl. 82 (2003) 367–423
Math Reviews MR1992375
Zentralblatt 1033.37023
16
Dujardin, Romain
Hénon-like mappings in C2
Amer. J. Math. 126 (2004) 439–472
Math Reviews MR2045508
17
Dujardin, Romain
Sur l'intersection des courants laminaires
Publ. Mat. 48 (2004) 107–125
Math Reviews MR2044640
Zentralblatt 1048.32021
18
Dujardin, Romain
Structure properties of laminar currents on P2
J. Geom. Anal. 15 (2005) 25–47
Math Reviews MR2132264
19
Dujardin, Romain
Laminar currents and birational dynamics
Duke Math. J. 131 (2006) 219–247
Math Reviews MR2219241
Zentralblatt 1099.37037
20
Duval, Julien
Singularités des courants d'Ahlfors
Ann. Sci. École Norm. Sup. 39 (2006) 527–533
Math Reviews MR2265678
Zentralblatt pre05078693
21
Favre, Charles and Jonsson, Mattias
Dynamical compactifications of C^2
à paraître aux Ann. Math
22
Fornaess, John Erik and Sibony, Nessim
Complex dynamics in higher dimension. II
in Modern methods in complex analysis (Princeton, NJ, 1992)
Ann. of Math. Stud. 137 (1995) 135–182
Math Reviews MR1369137
Zentralblatt 847.58059
23
Freire, Alexandre and Lopes, Artur and Mañé, Ricardo
An invariant measure for rational maps
Bol. Soc. Brasil. Mat. 14 (1983) 45–62
Math Reviews MR736568
Zentralblatt 568.58027
24
Fulton, William
Intersection theory
Springer, 1998
Math Reviews MR1644323
Zentralblatt 885.14002
25
Ghys, Étienne
Laminations par surfaces de Riemann
in Dynamique et géométrie complexes (Lyon, 1997)
Panor. Synthèses 8 (1999) 49–95
Math Reviews MR1760843
Zentralblatt 1018.37028
26
Gromov, Mikhaïl
On the entropy of holomorphic maps
Enseign. Math. 49 (2003) 217–235
Math Reviews MR2026895
Zentralblatt 1080.37051
27
Guedj, Vincent
Ergodic properties of rational mappings with large topological degree
Ann. of Math. 161 (2005) 1589–1607
Math Reviews MR2179389
Zentralblatt 1088.37020
28
Guedj, Vincent
Ergodic properties of rational mappings with large topological degree
Ann. of Math. 161 (2005) 1589–1607
Math Reviews MR2179389
Zentralblatt 1088.37020
29
Guedj, Vincent
Entropie topologique des applications méromorphes
Ergodic Theory Dynam. Systems 25 (2005) 1847–1855
Math Reviews MR2183297
30
Ledrappier, François
Some properties of absolutely continuous invariant measures on an interval
Ergodic Theory Dynam. Systems 1 (1981) 77–93
Math Reviews MR627788
Zentralblatt 487.28015
31
Ledrappier, François and Strelcyn, Jean-Marie
A proof of the estimation from below in Pesin's entropy formula
Ergodic Theory Dynam. Systems 2 (1982) 203–219
Math Reviews MR693976
Zentralblatt 533.58022
32
Lelong, Pierre
Propriétés métriques des variétés analytiques complexes définies par une équation
Ann. Sci. École Norm. Sup. 67 (1950) 393–419
Math Reviews MR0047789
Zentralblatt 039.08804
33
Ljubich, M. Ju.
Entropy properties of rational endomorphisms of the Riemann sphere
Ergodic Theory Dynam. Systems 3 (1983) 351–385
Math Reviews MR741393
34
Mihailescu, Eugen and Urbański, Mariusz
Holomorphic maps for which the unstable manifolds depend on prehistories
Discrete Contin. Dyn. Syst. 9 (2003) 443–450
Math Reviews MR1952385
Zentralblatt 1032.37017
35
Moore, Calvin C. and Schochet, Claude
Global analysis on foliated spaces
Springer, 1988
Math Reviews MR918974
Zentralblatt 648.58034
36
Ornstein, Donald and Weiss, Benjamin
On the Bernoulli nature of systems with some hyperbolic structure
Ergodic Theory Dynam. Systems 18 (1998) 441–456
Math Reviews MR1619567
Zentralblatt 915.58076
37
Przytycki, Feliks
Anosov endomorphisms
Studia Math. 58 (1976) 249–285
Math Reviews MR0445555
Zentralblatt 357.58010
38
Przytycki, Feliks and Urbański, Mariusz
Conformal fractals: Ergodic Theory methods
2010
39
Qian, Min and Zhu, Shu
SRB measures and Pesin's entropy formula for endomorphisms
Trans. Amer. Math. Soc. 354 (2002) 1453–1471
Math Reviews MR1873014
Zentralblatt 1113.37010
40
Rohlin, V. A.
Lectures on the entropy theory of transformations with invariant measure
Uspehi Mat. Nauk 22 (1967) 3–56 ; English translation : Russian Math. Surveys 22 (1967), 1–52
Math Reviews MR0217258
41
Yomdin, Y.
Volume growth and entropy
Israel J. Math. 57 (1987) 285–300
Math Reviews MR889979
Zentralblatt 641.54037