Dans cet article, nous donnons une description explicite des réalisations de de Rham et $p$-adiques des polylogarithmes elliptiques en utilisant la fonction thêta de Kronecker. Considérons en particulier une courbe elliptique $E$ définie sur un corps quadratique imaginaire $\mathbb {K}$, à multiplication complexe par l'anneau des entiers $\mathcal {O}_\mathbb {K}$ de $\mathbb {K}$, et ayant bonne réduction en chaque place au-dessus d'un nombre premier $p \geq 5$ non ramifié dans $\mathbb {K}$. On notera que le nombre de e de $\mathbb {K}$ est nécessairement égal à un. Nous montrons alors que les spécialisations des polylogarithmes $p$-adiques aux points de torsion de $E$ d'ordre premier à $p$ sont reliées aux nombres d'Eisenstein-Kronecker $p$-adiques. Ce résultat est valable même si $E$ a une réduction supersingulière en $p$. C'est un analogue $p$-adique d'un cas spécial du résultat de Beilinson et Levin exprimant la réalisation de Hodge du polylogarithme elliptique en utilisant les séries d'Eisenstein-Kronecker-Lerch. Si $p$ est quelconque, nous établissons un lien entre les nombres d'Eisenstein-Kronecker $p$-adiques et les valeurs spéciales des fonctions $L$ associées aux caractères de Hecke de $\mathbb {K}$.