Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.81.158.195
Accès aux édit. élec. : SémCong

Annales scientifiques de l'ENS

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Série 4 :
Série 3 :
Série 2 :
Série 1 :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 43 (2010)

Parutions < série 4, 43

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 43, fascicule 2 (2010)

Kenichi Bannai, Shinichi Kobayashi, Takeshi Tsuji
On the de Rham and p-adic realizations of the Elliptic Polylogarithm for CM elliptic curves
Annales scientifiques de l'ENS 43, fascicule 2 (2010), 185-234

Télécharger cet article : Fichier PDF
Acheter l'ouvrage

Résumé :
Sur les réalisations de de Rham et p-adiques du polylogarithme elliptique des courbes ellliptiques à multiplication complexe
Dans cet article, nous donnons une description explicite des réalisations de de Rham et p-adiques des polylogarithmes elliptiques en utilisant la fonction thêta de Kronecker. Considérons en particulier une courbe elliptique E définie sur un corps quadratique imaginaire K, à multiplication complexe par l'anneau des entiers O_K de K, et ayant bonne réduction en chaque place au-dessus d'un nombre premier p 5 non ramifié dans K. On notera que le nombre de classe de K est nécessairement égal à un. Nous montrons alors que les spécialisations des polylogarithmes p-adiques aux points de torsion de E d'ordre premier à p sont reliées aux nombres d'Eisenstein-Kronecker p-adiques. Ce résultat est valable même si E a une réduction supersingulière en p. C'est un analogue p-adique d'un cas spécial du résultat de Beilinson et Levin exprimant la réalisation de Hodge du polylogarithme elliptique en utilisant les séries d'Eisenstein-Kronecker-Lerch. Si p est quelconque, nous établissons un lien entre les nombres d'Eisenstein-Kronecker p-adiques et les valeurs spéciales des fonctions L associées aux caractères de Hecke de K.

Mots-clefs : Courbes elliptiques, multiplication complexe, polylogarithmes elliptiques, fonctions L p-adiques.

Abstract:
In this paper, we give an explicit description of the de Rham and p-adic polylogarithms for elliptic curves using the Kronecker theta function. In particular, consider an elliptic curve E defined over an imaginary quadratic field K with complex multiplication by the full ring of integers O_K of K. Note that our condition implies that K has class number one. Assume in addition that E has good reduction above a prime p 5 unramified in O_K. In this case, we prove that the specializations of the p-adic elliptic polylogarithm to torsion points of E of order prime to p are related to p-adic Eisenstein-Kronecker numbers. Our result is valid even if E has supersingular reduction at p. This is a p-adic analogue in a special case of the result of Beilinson and Levin, expressing the Hodge realization of the elliptic polylogarithm in terms of Eisenstein-Kronecker-Lerch series. When p is ordinary, then we relate the p-adic Eisenstein-Kronecker numbers to special values of p-adic L-functions associated to certain Hecke characters of K.

Keywords: Elliptic curves, complex multiplication, elliptic polylogarithms, p-adic L-functions.

Class. math. : 11G55, 11G07, 11G15, 14F30, 14G10


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Weierstrass elliptic and related functions, Ch. 18, in Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables
in Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables
(1992, p. 627–671)
Math Reviews MR1225604
2
Baldassarri, Francesco and Chiarellotto, Bruno
Algebraic versus rigid cohomology with logarithmic coefficients
in Barsotti Symposium in Algebraic Geometry (Abano Terme, 1991)
Perspect. Math. 15 (1994) 11–50
Math Reviews MR1307391
Zentralblatt 833.14010
3
Bannai, Kenichi
Rigid syntomic cohomology and p-adic polylogarithms
J. reine angew. Math. 529 (2000) 205–237
Math Reviews MR1799937
Zentralblatt 1006.19002
4
Bannai, Kenichi
Syntomic cohomology as a p-adic absolute Hodge cohomology
Math. Z. 242 (2002) 443–480
Math Reviews MR1985460
Zentralblatt 1053.14018
5
Bannai, Kenichi
On the p-adic realization of elliptic polylogarithms for CM-elliptic curves
Duke Math. J. 113 (2002) 193–236
Math Reviews MR1909217
Zentralblatt 1019.11018
6
Bannai, Kenichi and Kings, Guido
p-adic elliptic polylogarithm, p-adic Eisenstein series and Katz measure
arXiv:0707.3747, to appear in Amer. J. Math
7
Bannai, Kenichi and Kobayashi, Shinichi
Algebraic theta functions and p-adic interpolation of Eisenstein-Kronecker numbers
arXiv:math.NT/0610163, to appear in Duke Math. J
8
Bannai, Kenichi and Kobayashi, Shinichi
Algebraic theta functions and Eisenstein-Kronecker numbers
in Proceedings of the Symposium on Algebraic Number Theory and Related Topics
RIMS Kôkyûroku Bessatsu, B4 (2007) 63–77
Math Reviews MR2402003
Zentralblatt 1159.11048
9
Belinson, A. and Levin, Andrey
The elliptic polylogarithm
in Motives (Seattle, WA, 1991)
Proc. Sympos. Pure Math. 55 (1994) 123–190
Math Reviews MR1265553
Zentralblatt 817.14014
10
Berthelot, Pierre
Géométrie rigide et cohomologie des variétés algébriques de caractéristique p
Mém. Soc. Math. France (N.S.) 23 (1986) 7–32
Math Reviews MR865810
11
Berthelot, Pierre
Cohomologie rigide et cohomologie rigide à support propre, première partie
(1996) IRMAR 96-03
12
Berthelot, Pierre
Finitude et pureté cohomologique en cohomologie rigide
Invent. Math. 128 (1997) 329–377
Math Reviews MR1440308
Zentralblatt 908.14005
13
Besser, Amnon
Syntomic regulators and p-adic integration. I. Rigid syntomic regulators
in Proceedings of the Conference on p-adic Aspects of the Theory of Automorphic Representations (Jerusalem, 1998)
Israel J. Math. 120 (2000) 291–334
Math Reviews MR1809626
Zentralblatt 1001.19003
14
Besser, Amnon
Syntomic regulators and p-adic integration. II. K2 of curves
in Proceedings of the Conference on p-adic Aspects of the Theory of Automorphic Representations (Jerusalem, 1998)
Israel J. Math. 120 (2000) 335–359
Math Reviews MR1809627
15
Boxall, John L.
p-adic interpolation of logarithmic derivatives associated to certain Lubin-Tate formal groups
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 36 (1986) 1–27
Math Reviews MR865657
Zentralblatt 587.12007
16
Boxall, John L.
A new construction of p-adic L-functions attached to certain elliptic curves with complex multiplication
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 36 (1986) 31–68
Math Reviews MR867915
17
Coleman, Robert and de Shalit, Ehud
p-adic regulators on curves and special values of p-adic L-functions
Invent. Math. 93 (1988) 239–266
Math Reviews MR948100
Zentralblatt 655.14010
18
Colmez, Pierre
Fonctions L p-adiques, Séminaire Bourbaki, vol. 1998/99, exposé no 851
Astérisque 266 (2000) 21–58
Math Reviews MR1772669
Zentralblatt 964.11055
19
Damerell, R. M.
L-functions of elliptic curves with complex multiplication. I
Acta Arith. 17 (1970) 287–301
Math Reviews MR0285540
Zentralblatt 209.24603
20
Damerell, R. M.
L-functions of elliptic curves with complex multiplication. II
Acta Arith. 19 (1971) 311–317
Math Reviews MR0399103
Zentralblatt 229.12015
21
de Shalit, Ehud
Iwasawa theory of elliptic curves with complex multiplication
Academic Press Inc., 1987
Math Reviews MR917944
Zentralblatt 674.12004
22
Fontaine, Jean-Marc
Modules galoisiens, modules filtrés et anneaux de Barsotti-Tate
in Journées de Géométrie Algébrique de Rennes. (Rennes, 1978), Vol. III
Astérisque 65 (1979) 3–80
Math Reviews MR563472
Zentralblatt 429.14016
23
Huber, Annette and Kings, Guido
Degeneration of l-adic Eisenstein classes and of the elliptic polylog
Invent. Math. 135 (1999) 545–594
Math Reviews MR1669288
Zentralblatt 955.11027
24
Huber, Annette and Wildeshaus, Jörg
Classical motivic polylogarithm according to Beilinson and Deligne
Doc. Math. 3 (1998) 27–133; correction: idem, 297–299
Math Reviews MR1643974
25
Katz, Nicholas M.
p-adic interpolation of real analytic Eisenstein series
Ann. of Math. 104 (1976) 459–571
Math Reviews MR0506271
Zentralblatt 354.14007
26
Levin, Andrey
Elliptic polylogarithms: an analytic theory
Compositio Math. 106 (1997) 267–282
Math Reviews MR1457106
Zentralblatt 905.11028
27
Levin, Andrey and Racinet, G.
Towards multiple elliptic polylogarithm
arXiv:math/0703237
28
Manin, Ju. I. and Višik, M. M.
p-adic Hecke series of imaginary quadratic fields
Mat. Sb. (N.S.) 95 (1974) 357–383
Math Reviews MR0371861
29
Monsky, P. and Washnitzer, G.
Formal cohomology. I
Ann. of Math. 88 (1968) 181–217
Math Reviews MR0248141
Zentralblatt 162.52504
30
Perrin-Riou, Bernadette
Fonctions L p-adiques des représentations p-adiques
Astérisque 229 (1995)
Math Reviews MR1327803
Zentralblatt 845.11040
31
Schneider, P. and Teitelbaum, J.
p-adic Fourier theory
Doc. Math. 6 (2001) 447–481
Math Reviews MR1871671
Zentralblatt 1028.11069
32
Shiho, Atsushi
Crystalline fundamental groups. II. Log convergent cohomology and rigid cohomology
J. Math. Sci. Univ. Tokyo 9 (2002) 1–163
Math Reviews MR1889223
Zentralblatt 1057.14025
33
Solomon, Noam
p-adic elliptic polylogarithms and arithmetic applications
Thèse, Ben-Gurion University (2009)
34
Tsuzuki, Nobuo
On base change theorem and coherence in rigid cohomology
Doc. Math. extra vol. (2003) 891–918
Math Reviews MR2046617
Zentralblatt 1093.14503
35
Weil, André
Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker
Springer, 1976
Math Reviews MR0562289
Zentralblatt 318.33004
36
Weisstein, E.
Weierstrass Sigma Function
http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassSigmaFunction.html
37
Wildeshaus, Jörg
Realizations of polylogarithms
Springer, 1997
Math Reviews MR1482233
38
Yamamoto, S.
On p-adic L-functions for CM elliptic curves at supersingular primes
Thèse, University of Tokyo (2002)