Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.227.6.156
Accès aux édit. élec. : SémCong

Annales scientifiques de l'ENS

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Série 4 :
Série 3 :
Série 2 :
Série 1 :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 43 (2010)

Parutions < série 4, 43

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 43, fascicule 1 (2010)

Pedro Daniel González Pérez, Jean-Jacques Risler
Multi-Harnack smoothings of real plane branches
Annales scientifiques de l'ENS 43, fascicule 1 (2010), 143-183

Télécharger cet article : Fichier PDF
Acheter l'ouvrage

Résumé :
Lissages multi-Harnack de branches planes réelles
Soit R ^2 un polygone convexe à sommets entiers ; G. Mikhalkin a défini les courbes de Harnack (définies par un polynôme de support contenu dans et plongées dans la surface torique correspondante) et montré leur existence (via la méthode du patchwork de Viro) ainsi que l'unicité de leur type topologique plongé (qui est determiné par ). Le but de cet article est de montrer un résultat analogue pour la lissification (smoothing) d'un germe de branche réelle plane (C,O) analytique réelle. On définit pour cela une classe de smoothings dite Multi-Harnack à l'aide de la résolution des singularités constituée d'une suite de g éclatements toriques, si g est le nombre de paires de Puiseux de la branche (C,O). Un smoothing multi-Harnack est réalisé de la manière suivante : à chaque étape de la résolution (en commençant par la dernière) et de manière successive, un smoothing De Harnack (au sens de Mikhalkin) intermédiaire est obtenu par la méthode de Viro. On montre alors l'unicité du type topologique de tels smoothings. De plus, on peut supposer ces smoothings multi-semi-quasi homogènes ; on montre alors que des propriétés métriques (multi-taille des ovales) de tels smoothings sont caractérisées en fonction de la classe d'équisingularité de (C,O) et que réciproquement ces tailles caractérisent la classe d'équisingularité de la branche.

Mots-clefs : Lissification d'une singularité, courbe algébrique réelle, courbes de Harnack

Abstract:
Let R ^2 be an integral convex polygon. G. Mikhalkin introduced the notion of Harnack curves, a class of real algebraic curves, defined by polynomials supported on and contained in the corresponding toric surface. He proved their existence, via Viro's patchworking method, and that the topological type of their real parts is unique (and determined by ). This paper is concerned with the description of the analogous statement in the case of a smoothing of a real plane branch (C,0). We introduce the class of multi-Harnack smoothings of (C,0) by passing through a resolution of singularities of (C,0) consisting of g monomial maps (where g is the number of characteristic pairs of the branch). A multi-Harnack smoothing is a g-parametrical deformation which arises as the result of a sequence, beginning at the last step of the resolution, consisting of a suitable Harnack smoothing (in terms of Mikhalkin's definition) followed by the corresponding monomial blow down. We prove then the unicity of the topological type of a multi-Harnack smoothing. In addition, the multi-Harnack smoothings can be seen as multi-semi-quasi-homogeneous in terms of the parameters. Using this property we analyze the asymptotic multi-scales of the ovals of a multi-Harnack smoothing. We prove that these scales characterize and are characterized by the equisingularity class of the branch.

Keywords: Smoothings of singularities, real algebraic curves, Harnack curves

Class. math. : 14P25; 14H20 , 14M25


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
A'Campo, Norbert and Oka, Mutsuo
Geometry of plane curves via Tschirnhausen resolution tower
Osaka J. Math. 33 (1996) 1003–1033
Math Reviews MR1435467
Zentralblatt 904.14014
2
Arnold, V. I.
Some open problems in the theory of singularities
in Singularities, Part 1 (Arcata, Calif., 1981)
Proc. Sympos. Pure Math. 40 (1983) 57–69
Math Reviews MR713046
3
Bihan, F.
Viro method for the construction of real complete intersections
Adv. Math. 169 (2002) 177–186
Math Reviews MR1926222
Zentralblatt 1048.14035
4
Brusotti, L.
Curve generatrici e curve aggregate nella costruzione di curve piane d'ordine assegnato dotate del massimo numero di circuiti
Rend. Circ. Mat. Palermo 42 (1917) 138–144
5
Fulton, William
Introduction to toric varieties
Princeton Univ. Press, 1993
Math Reviews MR1234037
Zentralblatt 813.14039
6
Forsberg, Mikael and Passare, Mikael and Tsikh, August
Laurent determinants and arrangements of hyperplane amoebas
Adv. Math. 151 (2000) 45–70
Math Reviews MR1752241
Zentralblatt 1002.32018
7
García Barroso, Evelia and Teissier, Bernard
Concentration multi-échelles de courbure dans des fibres de Milnor
Comment. Math. Helv. 74 (1999) 398–418
Math Reviews MR1710694
Zentralblatt 956.32028
8
González Pérez, Pedro D.
Singularités quasi-ordinaires toriques et polyèdre de Newton du discriminant
Canad. J. Math. 52 (2000) 348–368
Math Reviews MR1755782
Zentralblatt 970.14027
9
González Pérez, Pedro D.
Approximate roots, toric resolutions and deformations of a plane branch
to appear in J. of the Math. Soc. of Japan
10
González Pérez, Pedro D.
Toric embedded resolutions of quasi-ordinary hypersurface singularities
Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 53 (2003) 1819–1881
Math Reviews MR2038781
11
Goldin, Rebecca and Teissier, Bernard
Resolving singularities of plane analytic branches with one toric morphism
in Resolution of singularities (Obergurgl, 1997)
Progr. Math. 181 (2000) 315–340
Math Reviews MR1748626
Zentralblatt 995.14002
12
Gel'fand, I. M. and Kapranov, M. M. and Zelevinsky, A. V.
Discriminants, Resultants and Multi-Dimensional Determinants
Birkhäuser, 1994
13
Itenberg, Ilia and Viro, Oleg Ya.
Patchworking algebraic curves disproves the Ragsdale conjecture
Math. Intelligencer 18 (1996) 19–28
Math Reviews MR1413249
Zentralblatt 876.14017
14
Itenberg, Ilia
Amibes de variétés algébriques et dénombrement de courbes (d'après G. Mikhalkin), Séminaire Bourbaki 2002/03, exposé no 921
Astérisque 294 (2004) 335–361
Math Reviews MR2111649
Zentralblatt 1059.14067
15
Itenberg, Ilia
Viro's method and T-curves
in Algorithms in algebraic geometry and applications (Santander, 1994)
Progr. Math. 143 (1996) 177–192
Math Reviews MR1414451
Zentralblatt 879.14029
16
Itenberg, Ilia and Mikhalkin, Grigory and Shustin, Eugenii
Tropical algebraic geometry
Birkhäuser, 2007
Math Reviews MR2292729
Zentralblatt 1162.14300
17
Kharlamov, V. M. and Orevkov, S. Yu. and Shustin, Eugenii
Singularity which has no M-smoothing
in The Arnoldfest (Toronto, ON, 1997)
Fields Inst. Commun. 24 (1999) 273–309
Math Reviews MR1733581
Zentralblatt 978.14048
18
Kharlamov, V. M. and Risler, Jean-Jacques
Blowing-up construction of maximal smoothings of real plane curve singularities
in Real analytic and algebraic geometry (Trento, 1992)
(1995) 169–188
Math Reviews MR1320318
Zentralblatt 861.14022
19
Kharlamov, V. M. and Risler, Jean-Jacques and Shustin, Eugenii
Maximal smoothings of real plane curve singular points
in Topology, ergodic theory, real algebraic geometry
Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2 202 (2001) 167–195
Math Reviews MR1819188
Zentralblatt 988.14025
20
Kouchnirenko, A. G.
Polyèdres de Newton et nombres de Milnor
Invent. Math. 32 (1976) 1–31
Math Reviews MR0419433
21
Hovanski, A. G.
Newton polyhedra, and the genus of complete intersections
Funktsional. Anal. i Prilozhen. 12 (1978) 51–61 English transl. Functional Anal. Appl. 12 (1978), 38–46
Math Reviews MR487230
22
Lê, Dũng-Tráng and Oka, Mutsuo
On resolution complexity of plane curves
Kodai Math. J. 18 (1995) 1–36
Math Reviews MR1317003
Zentralblatt 844.14010
23
Milnor, John
Singular points of complex hypersurfaces
Princeton Univ. Press, 1968
Math Reviews MR0239612
Zentralblatt 184.48405
24
Mikhalkin, Grigory
Real algebraic curves, the moment map and amoebas
Ann. of Math. 151 (2000) 309–326
Math Reviews MR1745011
Zentralblatt 1073.14555
25
Mikhalkin, Grigory and Rullgård, Hans
Amoebas of maximal area
Int. Math. Res. Not. 2001 (2001) 441–451
Math Reviews MR1829380
Zentralblatt 994.14032
26
Oda, Tadao
Convex bodies and algebraic geometry. An introduction to the theory of toric varieties
Springer, 1988
Math Reviews MR922894
Zentralblatt 628.52002
27
Oka, Mutsuo
Geometry of plane curves via toroidal resolution
in Algebraic geometry and singularities (La Rábida, 1991)
Progr. Math. 134 (1996) 95–121
Math Reviews MR1395177
Zentralblatt 857.14014
28
Oka, Mutsuo
Non-degenerate complete intersection singularity
Hermann, 1997
Math Reviews MR1483897
Zentralblatt 930.14034
29
Passare, Mikael and Rullgård, Hans
Amoebas, Monge-Ampère measures, and triangulations of the Newton polytope
Duke Math. J. 121 (2004) 481–507
Math Reviews MR2040284
Zentralblatt 1043.32001
30
Popescu-Pampu, Patrick
Approximate roots
in Valuation theory and its applications, Vol. II (Saskatoon, SK, 1999)
Fields Inst. Commun. 33 (2003) 285–321
Math Reviews MR2018562
Zentralblatt 1036.13017
31
Risler, Jean-Jacques
Construction d'hypersurfaces réelles (d'après Viro)
Séminaire Bourbaki 1992/93, exposé no 763, Astérisque 216 (1993) 69–86
Math Reviews MR1246393
Zentralblatt 824.14045
32
Risler, Jean-Jacques
Un analogue local du théorème de Harnack
Invent. Math. 89 (1987) 119–137
Math Reviews MR892188
Zentralblatt 672.14020
33
Shustin, Eugenii and Tyomkin, Ilya
Patchworking singular algebraic curves. I
Israel J. Math. 151 (2006) 125–144
Math Reviews MR2214120
Zentralblatt 1128.14019
34
Shustin, Eugenii and Tyomkin, Ilya
Patchworking singular algebraic curves. II
Israel J. Math. 151 (2006) 145–166
Math Reviews MR2214121
Zentralblatt 1128.14020
35
Sturmfels, Bernd
Viro's theorem for complete intersections
Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 21 (1994) 377–386
Math Reviews MR1310632
Zentralblatt 826.14032
36
Viro, Oleg Ya.
Gluing of algebraic hypersurfaces, smoothing of singularities and construction of curves
in Proceedings of the Leningrad International Topological Conference (Leningrad 1982)
(1983) 149–197
37
Viro, Oleg Ya.
Gluing of plane real algebraic curves and constructions of curves of degrees 6 and 7
in Topology (Leningrad, 1982)
Lecture Notes in Math. 1060 (1984) 187–200
Math Reviews MR770238
Zentralblatt 576.14031
38
Viro, Oleg Ya.
Real plane algebraic curves: constructions with controlled topology
Algebra i Analiz 1 (1989) 1–73 English translation: Leningrad Math. J., 1 (1990), 1059–1134
Math Reviews MR1036837
39
Viro, Oleg Ya.
Patchworking real algebraic varieties
U.U.D.M. Report 42 (Uppsala University, 1994)
40
Zariski, Oscar
Le problème des modules pour les branches planes
Hermann, 1986
Math Reviews MR861277
Zentralblatt 592.14010