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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 43 (2010)

Parutions < série 4, 43

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 43, fascicule 1 (2010)

Thierry Goudon, Alexis Vasseur
Regularity analysis for systems of reaction-diffusion equations
Annales scientifiques de l'ENS 43, fascicule 1 (2010), 117-142

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Résumé :
Analyse de régularité de systèmes d'équations de réaction-diffusion
Ce travail est consacré à l'étude de la régularité des solutions de certains systèmes d'équations de réaction-diffusion. En particulier, nous montrons que les solutions peuvent être bornées et régulières en dimensions un et deux alors qu'en dimensions supérieures nous discutons la dimension de Hausdorff de l'ensemble des points singuliers. L'approche proposée ici s'inspire de la méthode de De Giorgi pour étudier la régularité de problèmes elliptiques avec des coefficients discontinus. La preuve exploite la stucture spécifique des systèmes considérés et n'est pas une simple adaptation de techniques scalaires. L'entropie associée naturellement au système joue un rôle crucial dans cette analyse.

Mots-clefs : Systèmes de réaction-diffusion, régularité des solutions

Abstract:
This paper is devoted to the study of the regularity of solutions to some systems of reaction–diffusion equations. In particular, we show the global boundedness and regularity of the solutions in one and two dimensions. In addition, we discuss the Hausdorff dimension of the set of singularities in higher dimensions. Our approach is inspired by De Giorgi's method for elliptic regularity with rough coefficients. The proof uses the specific structure of the system to be considered and is not a mere adaptation of scalar techniques; in particular the natural entropy of the system plays a crucial role in the analysis.

Keywords: Reaction-diffusion systems, regularity of solutions

Class. math. : 35Q99, 35B25, 82C70


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Federer, H.
Geometric measure theory
Die Grund. Math. Wiss., Band 153, Springer New York Inc., New York, 1969
2
Stein, E. M.
Singular integrals and differentiability properties of functions
Princeton Mathematical Series, No. 30, Princeton Univ. Press, 1970
3
Alikakos, N. D.
Lp bounds of solutions of reaction-diffusion equations
Comm. Partial Differential Equations 4 (1979) 827–868
Math Reviews MR537465
4
Pierre, M. and Texier-Picard, R.
Global existence for degenerate quadratic reaction-diffusion systems
to appear in Ann. IHP Anal. non linéaire
5
Caffarelli, L. and Vasseur, Alexis
Drift diffusion equations with fractional diffusion and the Quasi-geostrophic equation
to appear in Annals of Math.
6
Collet, J.-F.
Some modelling issues in the theory of fragmentation-coagulation systems
Commun. Math. Sci. 2 (2004) 35–54
7
Lin, F.
A new proof of the Caffarelli–Kohn–Nirenberg theorem
Comm. Pure and Appl. Math. 51 (1998) 241–257
8
Scheffer, V.
Partial regularity of solutions to the Navier-Stokes equations
Pacific J. Math. 66 (1976) 535–552
9
Scheffer, V.
Hausdorff measure and the Navier-Stokes equations
Comm. Math. Phys. 55 (1977) 55–97
10
Ball, J. M.
On the asymptotic behavior of generalized processes, with applications to nonlinear evolution equations
J. Differential Equations 27 (1978) 224–265
11
Feng, W.
Coupled system of reaction–diffusion equations and applications in carrier facilitated diffusion
Nonlinear Anal. 17 (1991) 285–311
12
Bisi, M. and Desvillettes, Laurent
From Reactive Boltzmann Equations to Reaction–Diffusion Systems
J. Stat. Phys. 124 (2006) 881–912
13
Villani, C.
Hypocoercive diffusion operators
in Proceedings of the International Congress of Mathematicians
(2006)
14
Erdi, P. and Tóth, J.
Mathematical models of chemical reactions
Nonlinear Science: Theory and Applications, Manchester Univ. Press, 1989
15
Ladyzenskaia, O. A. and Solonnikov, V. A. and Uralceva, N. N.
Linear and quasi-linear equations of parabolic type
Transl. Math. Monographs, vol. 23, AMS, 1968
16
Murray, J. D.
Mathematical biology
Interdisciplinary Applied Math., vol. 17 18, Springer, 2003
17
Fife, P. C.
Mathematical aspects of reacting and diffusing systems
Lecture Notes in Biomath., vol. 28, Springer, 1979
18
Rothe, F.
Global solutions of reaction–diffusion systems
Lecture Notes in Math., vol. 102, Springer, 1984
19
Pierre, M.
Weak solutions and supersolutions in L^1 for reaction-diffusion systems
J. Evol. Equ. 3 (2003) 153–168
20
De Giorgi, E.
Sulla differenziabilità e l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari
Mem. Accad. Sci. Torino. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. 3 (1957) 25–43
21
Brezis, H.
Analyse fonctionnelle. Théorie et applications
Collection Mathématiques Appliquées pour la Maîtrise, Masson, 1983
22
Desvillettes, Laurent and Fellner, Klemens
Exponential decay toward equilibrium via entropy methods for reaction-diffusion equations
J. Math. Anal. Appl. 319 (2006) 157–176
23
Desvillettes, Laurent and Fellner, Klemens
Entropy methods for reaction-diffusion equations: slowly growing a-priori bounds
Rev. Mat. Iberoam. 24 (2008) 407–431
Math Reviews MR2459198
Zentralblatt pre05361868
24
Desvillettes, Laurent and Fellner, Klemens and Pierre, M. and Vovelle, J.
About Global Existence for Quadratic Systems of Reaction-Diffusion
J. Advanced Nonlinear Studies 7 (2007) 491–511
25
Vasseur, Alexis
A new proof of partial regularity of solutions to Navier-Stokes equations
NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 14 (2007) 753–785
Math Reviews MR2374209
26
Mellet, Antoine and Vasseur, Alexis
Lp estimates for quantities advected by a compressible flow
J. Math. Anal. Appl. 355 (2009) 548–563
Math Reviews MR2521733
27
Caffarelli, L. and Kohn, R. V. and Nirenberg, L.
Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations
Comm. Pure Appl. Math. 35 (1982) 771–831
28
Pierre, M. and Schmitt, D.
Blowup in reaction-diffusion systems with dissipation of mass
SIAM Rev. 42 (2000) 93–106 (electronic)
29
Morgan, J. and Waggonner, S.
Global existence for a class of quasilinear reaction-diffusion systems
Commun. Appl. Anal. 8 (2004) 153–166
30
Morgan, J.
Boundedness and decay results for reaction-diffusion systems
SIAM J. Math. Anal. 21 (1990) 1172–1189
31
Morgan, J.
On a question of blow-up for semilinear parabolic systems
Differential Integral Equations 3 (1990) 973–978
32
Morgan, J.
Global existence for semilinear parabolic systems via Lyapunov type methods
in Nonlinear semigroups, partial differential equations and attractors (Washington, DC, 1987)
Lecture Notes in Math. 1394 (1989) 117–121
33
Morgan, J.
Global existence for semilinear parabolic systems
SIAM J. Math. Anal. 20 (1989) 1128–1144
34
Somathilake, L. W. and Peiris, J. M. J. J.
Global solutions of a strongly coupled reaction-diffusion system with different diffusion coefficients
J. Appl. Math. 1 (2005) 23–36
35
Giga, Y. and Kohn, R. V.
Asymptotically self-similar blow-up of semilinear heat equations
Comm. Pure Appl. Math. 38 (1985) 297–319
36
Weissler, F. B.
An L blow-up estimate for a nonlinear heat equation
Comm. Pure Appl. Math. 38 (1985) 291–295