Catalogue et commandes en ligne (paiement sécurisé, VISA ou MASTERCARD uniquement)

Revues disponibles par abonnement

Annales scientifiques de l'ENS

Astérisque

Bulletin de la SMF

Mémoires de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Gazette des Mathématiciens

Séries de livres

Astérisque

Cours Spécialisés

Documents Mathématiques

Mémoires de la SMF

Panoramas et Synthèses

Séminaires et Congrès

Série Chaire Jean Morlet

SMF/AMS Texts and Monographs

La Série T

Fascicules « Journée Annuelle »

Autres livres

Donald E. Knuth - traductions françaises

Rééditions du Séminaire Nicolas Bourbaki

Rééditions des Œuvres de Jean Leray

Revue de l'Institut Elie Cartan

Editions électroniques

Annales scientifiques de l'ENS

Bulletin de la SMF

Revue d'Histoire des Mathématiques

Séminaires et Congrès

Plus d'information / Abonnement

Publications grand public

L'explosion des mathématiques (smf.emath.fr)

Mathématiques L'explosion continue (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des maths (smf.emath.fr)

Zoom sur les métiers des mathématiques et de l'informatique (smf.emath.fr)

Où en sont les mathématiques ?

La Série T

Pour les auteurs

Soumission des manuscrits

Formats et documentation

Plus d'info

Liste de diffusion électronique (smf.emath.fr)

Information pour les libraires et diffuseurs (smf.emath.fr)

Publications de la SMF
fr en
Votre numéro IP : 54.91.48.104
Accès aux édit. élec. : SémCong

Annales scientifiques de l'ENS

Présentation de la publication

Parutions

Dernières parutions

Comité de rédaction / Secrétariat

Série 4 :
Série 3 :
Série 2 :
Série 1 :

Faire une recherche


Catalogue & commande

Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 42 (2009)

Parutions < série 4, 42

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 42, fascicule 5 (2009)

Grégory Miermont
Tessellations of random maps of arbitrary genus
Annales scientifiques de l'ENS 42, fascicule 5 (2009), 725-781

Télécharger cet article : Fichier PDF
Acheter l'ouvrage

Résumé :
Mosaïques sur des cartes aléatoires en genre arbitraire
Nous examinons les propriétés de mosaïques de type Voronoï sur des quadrangulations bipartites de genre arbitraire. Ceci est rendu possible par une généralisation naturelle d'une bijection de Marcus et Schaeffer, permettant de décrire ces mosaïques par des cartes étiquetées avec un nombre fixé de faces, dont nous déterminons les limites d'échelle. Parmi les applications de ces résultats, figurent le comptage asymptotique des quadrangulations, ainsi que des propriétés métriques typiques de quadrangulations choisies au hasard. En particulier, nous montrons que les limites d'échelles de ces quadrangulations aléatoires sont telles que presque toute paire de points est liée par un unique chemin géodésique.

Mots-clefs : Cartes aléatoires, limites d'échelle, serpents aléatoires, comptage asymptotique, géodésiques

Abstract:
We investigate Voronoi-like tessellations of bipartite quadrangulations on surfaces of arbitrary genus, by using a natural generalization of a bijection of Marcus and Schaeffer allowing one to encode such structures by labeled maps with a fixed number of faces. We investigate the scaling limits of the latter. Applications include asymptotic enumeration results for quadrangulations, and typical metric properties of randomly sampled quadrangulations. In particular, we show that scaling limits of these random quadrangulations are such that almost every pair of points is linked by a unique geodesic.

Keywords: Random maps, scaling limits, random snakes, asymptotic enumeration, geodesics

Class. math. : 60C05, 05C30, 60F05


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

Bibliographie:

1
Aldous, David
The continuum random tree. I
Ann. Probab. 19 (1991) 1–28
Math Reviews MR1085326
Zentralblatt 722.60013
2
Ambjørn, Jan and Durhuus, Bergfinnur and Jonsson, Thordur
Quantum geometry. A statistical field theory approach
Cambridge Univ. Press, 1997
Math Reviews MR1465433
Zentralblatt 993.82500
3
Angel, O.
Growth and percolation on the uniform infinite planar triangulation
Geom. Funct. Anal. 13 (2003) 935–974
Math Reviews MR2024412
4
Bender, Edward A. and Canfield, E. Rodney
The asymptotic number of rooted maps on a surface
J. Combin. Theory 43 (1986) 244–257
Math Reviews MR867650
Zentralblatt 606.05031
5
Billingsley, Patrick
Convergence of probability measures
John Wiley Sons Inc., 1999
Math Reviews MR1700749
Zentralblatt 944.60003
6
Bouttier, J. and Di Francesco, P. and Guitter, E.
Planar maps as labeled mobiles
Electron. J. Combin. 11 (2004) Research Paper 69 (electronic)
Math Reviews MR2097335
Zentralblatt 1060.05045
7
Bouttier, J. and Guitter, E.
Statistics in geodesics in large quadrangulations
J. Phys. 41 (2008) 145001, 30
Math Reviews MR2450375
8
Bourbaki, Nicolas
Éléments de mathématique, Topologie générale, chap. 1 à 4
Hermann, 1971
9
Burago, Dmitri and Burago, Yuri and Ivanov, Sergei
A course in metric geometry
Amer. Math. Soc., 2001
Math Reviews MR1835418
10
Chapuy, G. and Marcus, M. and Schaeffer, Gilles
A bijection for rooted maps on orientable surfaces
(2007) arXiv:0712.3649
11
Chassaing, Philippe and Schaeffer, Gilles
Random planar lattices and integrated superBrownian excursion
Probab. Theory Related Fields 128 (2004) 161–212
Math Reviews MR2031225
Zentralblatt 1041.60008
12
Dudley, R. M.
Real analysis and probability
Cambridge Univ. Press, 2002
Math Reviews MR1932358
Zentralblatt 1023.60001
13
Duquesne, Thomas
A limit theorem for the contour process of conditioned Galton-Watson trees
Ann. Probab. 31 (2003) 996–1027
Math Reviews MR1964956
Zentralblatt 1025.60017
14
Duquesne, Thomas and Le Gall, Jean-François
Random trees, Lévy processes and spatial branching processes
Astérisque 281 (2002)
Math Reviews MR1954248
Zentralblatt 1037.60074
15
Duquesne, Thomas and Le Gall, Jean-François
Probabilistic and fractal aspects of Lévy trees
Probab. Theory Related Fields 131 (2005) 553–603
Math Reviews MR2147221
Zentralblatt 1070.60076
16
Evans, Steven N. and Pitman, Jim and Winter, Anita
Rayleigh processes, real trees, and root growth with re-grafting
Probab. Theory Related Fields 134 (2006) 81–126
Math Reviews MR2221786
Zentralblatt 1086.60050
17
Evans, Steven N. and Winter, Anita
Subtree prune and regraft: a reversible real tree-valued Markov process
Ann. Probab. 34 (2006) 918–961
Math Reviews MR2243874
Zentralblatt 1101.60054
18
Flajolet, Philippe and Sedgewick, Robert
Analytic combinatorics
Cambridge Univ. Press, 2009
Math Reviews MR2483235
Zentralblatt pre05485323
19
Fukaya, Kenji
Collapsing of Riemannian manifolds and eigenvalues of Laplace operator
Invent. Math. 87 (1987) 517–547
Math Reviews MR874035
Zentralblatt 589.58034
20
Gao, Zhicheng
A pattern for the asymptotic number of rooted maps on surfaces
J. Combin. Theory 64 (1993) 246–264
Math Reviews MR1245161
Zentralblatt 792.05073
21
Greven, A. and Pfaffelhuber, P. and Winter, Anita
Convergence in distribution of random metric measure spaces (-coalescent measure trees)
(2006)
22
Gromov, Misha
Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces
Birkhäuser, 1999
Math Reviews MR1699320
Zentralblatt 953.53002
23
Janson, Svante and Marckert, Jean-François
Convergence of discrete snakes
J. Theoret. Probab. 18 (2005) 615–647
Math Reviews MR2167644
Zentralblatt 1084.60049
24
Lando, Sergei K. and Zvonkin, Alexander K.
Graphs on surfaces and their applications
Springer, 2004
Math Reviews MR2036721
25
Le Gall, Jean-François
The uniform random tree in a Brownian excursion
Probab. Theory Related Fields 96 (1993) 369–383
Math Reviews MR1231930
Zentralblatt 794.60080
26
Le Gall, Jean-François
The topological structure of scaling limits of large planar maps
Invent. Math. 169 (2007) 621–670
Math Reviews MR2336042
Zentralblatt 1132.60013
27
Le Gall, Jean-François
Geodesics in large planar maps and in the Brownian map
(2008) arXiv:0804.3012
28
Le Gall, Jean-François and Paulin, Frédéric
Scaling limits of bipartite planar maps are homeomorphic to the 2-sphere
Geom. Funct. Anal. 18 (2008) 893–918
Math Reviews MR2438999
Zentralblatt pre05565912
29
Lévy, Thierry
Yang-Mills measure on compact surfaces
Mem. Amer. Math. Soc. 166 (2003)
Math Reviews MR2006374
30
Marckert, Jean-François and Miermont, Grégory
Invariance principles for random bipartite planar maps
Ann. Probab. 35 (2007) 1642–1705
Math Reviews MR2349571
Zentralblatt pre05201525
31
Marckert, Jean-François and Mokkadem, Abdelkader
States spaces of the snake and its tour–convergence of the discrete snake
J. Theoret. Probab. 16 (2003) 1015–1046
Math Reviews MR2033196
Zentralblatt 1044.60083
32
Marckert, Jean-François and Mokkadem, Abdelkader
Limit of normalized quadrangulations: the Brownian map
Ann. Probab. 34 (2006) 2144–2202
Math Reviews MR2294979
Zentralblatt 1117.60038
33
Marcus, M. and Schaeffer, Gilles
Une bijection simple pour les cartes orientables
(2001) http://www.lix.polytechnique.fr/~schaeffe/Biblio/MaSc01.ps
34
Miermont, Grégory
An invariance principle for random planar maps
in Fourth Colloquium on Mathematics and Computer Sciences CMCS'06
Discrete Math. Theor. Comput. Sci. Proc. (2006) 39–58 (electronic)
35
Miermont, Grégory
Invariance principles for spatial multitype Galton-Watson trees
Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 44 (2008) 1128–1161
Math Reviews MR2469338
36
Miermont, Grégory and Weill, Mathilde
Radius and profile of random planar maps with faces of arbitrary degrees
Electron. J. Probab. 13 (2008) 79–106
Math Reviews MR2375600
37
Okounkov, Andrei
Random matrices and random permutations
Int. Math. Res. Not. 2000 (2000) 1043–1095
Math Reviews MR1802530
Zentralblatt 1018.15020
38
Okounkov, Andrei and Pandharipande, R.
Gromov-Witten theory, Hurwitz numbers, and matrix models
in Algebraic geometry–Seattle 2005. Part 1
Proc. Sympos. Pure Math. 80 (2009) 325–414
Math Reviews MR2483941
Zentralblatt pre05548155
39
Petrov, V. V.
Sums of independent random variables
Springer, 1975
Math Reviews MR0388499
Zentralblatt 322.60043
40
Pitman, Jim
Combinatorial stochastic processes
Springer, 2006
Math Reviews MR2245368
41
Revuz, Daniel and Yor, Marc
Continuous martingales and Brownian motion
Springer, 1999
Math Reviews MR1725357
Zentralblatt 917.60006
42
Schaeffer, Gilles
Conjugaison d'arbres et cartes combinatoires aléatoires
Thèse de doctorat, Université Bordeaux I (1998)
43
Sheffield, Scott
Gaussian free fields for mathematicians
Probab. Theory Related Fields 139 (2007) 521–541
Math Reviews MR2322706
Zentralblatt 1132.60072
44
Villani, Cédric
Optimal transport
Springer, 2009
Math Reviews MR2459454
Zentralblatt 1156.53003
45
Weill, Mathilde
Asymptotics for rooted bipartite planar maps and scaling limits of two-type spatial trees
Electron. J. Probab. 12 (2007) 887–925
Math Reviews MR2318414
Zentralblatt 1127.05096