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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 42 (2009)

Parutions < série 4, 42

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 42, fascicule 3 (2009)

Tommaso de Fernex, Mircea Mustață
Limits of log canonical thresholds
Annales scientifiques de l'ENS 42, fascicule 3 (2009), 491-515

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Résumé :
Limites de seuils log canoniques
Dans cet article, nous analysons les ensembles T_n de seuils log canoniques de paires (X,Y), où X est une variété lisse de dimension n, et Y est un sous-schéma fermé non-vide de X. En employant des méthodes non-standard, nous montrons que chaque limite d'une suite strictement décroissante de T_n appartient à l'ensemble T_n-1 (ce résultat a été conjecturé par J. Kollár dans ses travaux sur le sujet). Nous montrons également que l'ensemble T_n est fermé dans R, et en déduisons que les valeurs adhérentes de l'ensemble des seuils log canoniques des pairs (X,Y) sont rationnelles, si la dimension de X est majorée. Une autre conséquence de nos résultats concerne la conjecture ACC de Shokurov pour les T_n. En effet, nous montrons qu'elle est une conséquence de l'énoncé suivant : pour tout n, la valeur 1 ne peut pas être obtenue comme limite d'une suite strictement croissante de nombres contenus dans T_n. Dans une autre perspective, nous interprétons la conjecture ACC comme une propriété de semi-continuité de seuils log canoniqes des séries formelles.

Mots-clefs : Seuils log canoniques, idéaux multiples, ultra-filtres, résolution de singularités

Abstract:
Let T_n denote the set of log canonical thresholds of pairs (X,Y), with X a nonsingular variety of dimension n, and Y a nonempty closed subscheme of X. Using non-standard methods, we show that every limit of a decreasing sequence in T_n lies in T_n-1, proving in this setting a conjecture of Kollár. We also show that T_n is closed in R; in particular, every limit of log canonical thresholds on smooth varieties of fixed dimension is a rational number. As a consequence of this property, we see that in order to check Shokurov's ACC Conjecture for all T_n, it is enough to show that 1 is not a point of accumulation from below of any T_n. In a different direction, we interpret the ACC Conjecture as a semi-continuity property for log canonical thresholds of formal power series.

Keywords: Log canonical threshold, multiplier ideals, ultrafilter, resolution of singularities

Class. math. : 14B05; 03H05, 14E30


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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