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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 42 (2009)

Parutions < série 4, 42

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 42, fascicule 3 (2009)

Francis C. S. Brown
Multiple zeta values and periods of moduli spaces M_0,n
Annales scientifiques de l'ENS 42, fascicule 3 (2009), 371-489

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Résumé :
Valeurs zêta multiples et périodes des espaces de modules M_0,n
Nous démontrons une conjecture de Goncharov et Manin qui prédit que les périodes des espaces de modules M_0,n des courbes de genre 0 avec n points marqués sont des valeurs zêta multiples. Nous introduisons une algèbre différentielle de fonctions polylogarithmes multiples sur M_0,n dans laquelle il existe des primitives. L'idée principale est d'appliquer une version de la formule de Stokes récursivement pour réduire chaque intégrale de périodes à une combinaison linéaire de valeurs zêta multiples. Nous donnons également une interprétation géométrique des double relations de mélange pour les valeurs zêta multiples. En considérant des applications naturelles entre les espaces des modules, on déduit des formules de produit générales entre leurs périodes. Les doubles relations de mélange s'obtiennent comme deux cas particuliers de cette construction.

Mots-clefs : Espace des modules, multizêtas, intégrales itérées, polylogarithmes, associateurs, associaèdres

Abstract:
We prove a conjecture due to Goncharov and Manin which states that the periods of the moduli spaces M_0,n of Riemann spheres with n marked points are multiple zeta values. We do this by introducing a differential algebra of multiple polylogarithms on M_0,n and proving that it is closed under the operation of taking primitives. The main idea is to apply a version of Stokes' formula iteratively to reduce each period integral to multiple zeta values. We also give a geometric interpretation of the double shuffle relations, by showing that they are two extreme cases of general product formulae for periods which arise by considering natural maps between moduli spaces.

Keywords: Moduli spaces, multiple zeta values, iterated integrals, polylogarithms, associators, associahedra

Class. math. : 14G32, 11G55, 32G34


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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