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Annales scientifiques de l'ENS - Parutions - série 4, 42 (2009)

Parutions < série 4, 42

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4 42, fascicule 2 (2009)

Gérard Freixas Montplet
An arithmetic Riemann-Roch theorem for pointed stable curves
Annales scientifiques de l'ENS 42, fascicule 2 (2009), 335-369

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Résumé :
Un théorème de Riemann-Roch arithmétique pour les courbes stables pointées
Soient (O, , F_) un anneau arithmétique de dimension de Krull au plus 1,S=SpecO et (:XS; _1,,_n) une courbe stable n-pointée de genre g. PosonsU=X_j_j(S). Le faisceau inversible _X/S(_1++_n) hérite une structure hermitienne _hyp du dual de la métrique hyperbolique sur la surface de Riemann U_. Dans cet article nous prouvons un théorème de Riemann-Roch arithmétique qui calcule l'auto-intersection arithmétique de _X/S(_1++_n)_hyp. Le théorème est appliqué aux courbes modulaires X(), =_0(p) ou _1(p), p11 premier, prenant les cusps comme sections. Nous montrons Z^(Y(),1)e^a^b_2(1/2)^cL(0,M_), avec p1112 lorsque =_0(p). Ici Z(Y(),s) est la fonction zêta de Selberg de la courbe modulaire ouverte Y(), a,b,c sont des nombres rationnels, M_ est un motif de Chow approprié et signifie égalité à unité près.

Mots-clefs : Riemann-Roch arithmétique, courbes stables pointées, métrique hyperbolique, fonction zêta de Selberg

Abstract:
Let (O, , F_) be an arithmetic ring of Krull dimension at most 1, S=SpecO and (:XS; _1,,_n) an n-pointed stable curve of genus g. Write U=X_j_j(S). The invertible sheaf _X/S(_1++_n) inherits a hermitian structure _hyp from the dual of the hyperbolic metric on the Riemann surface U_. In this article we prove an arithmetic Riemann-Roch type theorem that computes the arithmetic self-intersection of _X/S(_1++_n)_hyp. The theorem is applied to modular curves X(), =_0(p) or _1(p), p11 prime, with sections given by the cusps. We show Z^(Y(),1)e^a^b_2(1/2)^cL(0,M_), with p1112 when =_0(p). Here Z(Y(),s) is the Selberg zeta function of the open modular curve Y(), a,b,c are rational numbers, M_ is a suitable Chow motive and means equality up to algebraic unit.

Keywords: Arithmetic Riemann-Roch theorem, pointed stable curves, hyperbolic metric, Selberg zeta function

Class. math. : 14G40, 11F72


ISSN : 0012-9593
Publié avec le concours de : Centre National de la Recherche Scientifique

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