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Annales scientifiques de l’ENS, série 4 - Parutions - 41 - pages 855-903

Parutionssérie 4, 41

Incompressibilité des feuilles de germes de feuilletages holomorphes singuliers

David MARÍN, Jean-François MATTEI

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4, 41, fascicule 6 (2008), 855-903

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Résumé :

Nous considérons un germe de feuilletage holomorphe singulier non-dicritique pF défini sur une boule fermée --
p𝔹 ⊂ ℂ2  , satisfaisant des hypothèses génériques, de courbe de séparatrice pS  . Nous démontrons l’existence d’un voisinage ouvert pU  de pS  dans --
p𝔹  tel que, pour toute feuille pL  de pF|(U \S)  , l’inclusion naturelle pi : L `→ U \S  induit un monomorphisme pi* : π1(L) `→ π1(U \S)  au niveau du groupe fondamental. Pour cela, nous introduisons la notion géométrique de « connexité feuilletée » avec laquelle nous réinterprétons la notion d’incompressibilité. Nous montrons aussi l’existence de sections holomorphes transverses satisfaisant la propriété de connexité feuilletée ; elles nous permettent d’introduire une notion de « représentation de monodromie globale » du feuilletage.

Mots clefs : Équations différentielles ordinaires, systèmes dynamiques, feuilletages holomorphes, champs de vecteurs, variétés de dimension trois, topologie de petite dimension, groupe fondamental, singularités, monodromie

Abstract :

Incompressibility of leaves of singular holomorphic foliation germs

We consider a non-dicritic germ of singular holomorphic foliation pF defined in some closed ball --
p𝔹 ⊂ ℂ2  with separatrix set pS  , satisfying some additional but generic hypotheses. We prove that there exists an open subset pU ⊃ S  of p𝔹  , such that for every leaf pL  of pF |(U\S)  the natural inclusion pi : L `→ U \S  induces a monomorphism pi* : π1(L ) `→ π1(U \ S)  at the fundamental group level. To do this, we introduce the geometrical notion of “foliated connexity” and we re-interpret the incompressibility using it. We also show the existence of some special transverse holomorphic sections, which allow us to introduce a “global monodromy representation” for the foliation.

Keywords : Ordinary Differential Equations, Holomorphic Foliations, Vector Fields, Dynamical Systems, 3-Manifolds, Low-dimensional Topology, Singularities, Fondamental Group, Monodromy

Class. math. : 32M25, 32S55, 32S65, 34M20, 34M35, 34M45, 37F75, 57M05, 57M25, 57M27


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