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Annales scientifiques de l’ENS, série 4 - Parutions - 41 - pages 85-139

Parutionssérie 4, 41

Nonlinear compressible vortex sheets in two space dimensions

Jean-François COULOMBEL, Paolo SECCHI

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4, 41, fascicule 1 (2008), 85-139

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Résumé :

Nappes de tourbillon compressibles

Nous construisons des nappes de tourbillon supersoniques pour les équations d’Euler compressibles isentropiques en deux dimensions d’espace. Il s’agit d’un problème non-linéaire hyperbolique à frontière libre présentant deux difficultés principales : la frontière libre est caractéristique et la condition dite de Lopatinskii n’est satisfaite que dans un sens faible, ce qui induit des estimations à perte. Néanmoins nous montrons l’existence de telles solutions régulières par morceaux des équations d’Euler en utilisant un schéma itératif de type Nash-Moser palliant les pertes de régularité. Notre analyse s’étend au cas de discontinuités non-caractéristiques et faiblement stables comme certaines ondes de choc pour les équations d’Euler ou les transitions de phase liquide- vapeur.

Abstract :

We consider supersonic compressible vortex sheets for the isentropic Euler equations of gas dynamics in two space dimensions. The problem is a free boundary nonlinear hyperbolic problem with two main difficulties: the free boundary is characteristic, and the so-called Lopatinskii condition holds only in a weak sense, which yields losses of derivatives. Nevertheless, we prove the local existence of such piecewise smooth solutions to the Euler equations. Since the a priori estimates for the linearized equations exhibit a loss of regularity, our existence result is proved by using a suitable modification of the Nash-Moser iteration scheme. We also show how a similar analysis yields the existence of weakly stable shock waves in isentropic gas dynamics, and the existence of weakly stable liquid/vapor phase transitions.

Keywords : Compressible Euler equations, vortex sheets, contact discontinuities, weak stability, loss of derivatives

Class. math. : 76N10 (35Q35, 35L50, 76E17)


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