Dans cet article, nous proposons une nouvelle méthode pour démontrer la bijectivité de la correspondance de Howe pour les paires duales du type $\left( {\rm GL}_n, {\rm GL}_m \right)$ sur un corps $F$ localement compact non archimédien. La preuve est basée sur une étude soigneuse  de la filtration de Kudla ainsi que sur les résultats de Minguez à propos de l'irréductibilité d'une représentation induite parabolique. Elle est valable pour $F$ de caractéristique quelconque et nous permet d'expliciter la bijection en termes des paramètres de Langlands. Elle  généralise donc les résultats de Watanabe et répond totalement aux questions étudiées par Muić pour les paires duales de type II.