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Annales scientifiques de l’ENS, série 4 - Parutions - 41 - pages 623-655

Parutionssérie 4, 41

A Riemann-Roch-Hirzebruch formula for traces of differential operators

Markus ENGELI, Giovanni FELDER

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4, 41, fascicule 4 (2008), 623-655

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Résumé :

Une formule de Riemann-Roch-Hirzebruch pour les traces d’opérateurs différentiels

Soit pD  un opérateur différentiel holomorphe opérant sur les sections d’un fibré vectoriel holomorphe sur une variété complexe de dimension pn  . Nous démontrons une formule, conjecturée par Feigin et Shoikhet, donnant le nombre de Lefschetz de pD  comme intégrale d’une forme différentielle sur la variété. La classe de cette forme différentielle est obtenue, via la géométrie différentielle formelle du générateur canonique de la cohomologie de Hochschild pHH2n  (Dn, D*n)  de l’algèbre des opérateurs différentiels sur un entourage formel d’un point. Si pD  est l’identité, la formule se réduit à la formule de Riemann-Roch-Hirzebruch.

Abstract :

Let pD  be a holomorphic differential operator acting on sections of a holomorphic vector bundle on an pn  -dimensional compact complex manifold. We prove a formula, conjectured by Feigin and Shoikhet, giving the Lefschetz number of pD  as the integral over the manifold of a differential form. The class of this differential form is obtained via formal differential geometry from the canonical generator of the Hochschild cohomology pHH2n (Dn,D *n)  of the algebra of differential operators on a formal neighbourhood of a point. If pD  is the identity, the formula reduces to the Riemann-Roch-Hirzebruch formula.


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