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Annales scientifiques de l’ENS, série 4 - Parutions - 41 - pages 385-437

Parutionssérie 4, 41

Manin’s and Peyre’s conjectures on rational points and adelic mixing

Alex GORODNIK, François MAUCOURANT, Hee OH

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4, 41, fascicule 3 (2008), 385-437

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Résumé :

Conjectures de Manin et de Peyre sur des points rationnels et mélange adélique

Soit pX  la compactification merveilleuse d’un groupe semi-simple pG  , connexe, de type adjoint, algébrique défini sur un corps de nombre pK  . Nous démontrons l’asymptotique conjecturée par Manin du nombre de points pK  -rationnels sur pX  de hauteur plus petite que pT  , lorsque pT → +∞ , et construisons de manière explicite une mesure sur pX(𝔸)  , généralisant celle de Peyre, qui décrit la répartition asymptotique des points rationnels pG(K )  sur pX(𝔸 )  . Ce travail repose sur la propriété de mélange de pL2(G (K )\G(𝔸))  , qui est démontrée avec une estimée de vitesse.

Abstract :

Let pX  be the wonderful compactification of a connected adjoint semisimple group pG  defined over a number field pK  . We prove Manin’s conjecture on the asymptotic (as pT →  ∞ ) of the number of pK  -rational points of pX  of height less than pT  , and give an explicit construction of a measure on pX (𝔸 )  , generalizing Peyre’s measure, which describes the asymptotic distribution of the rational points pG(K )  on pX (𝔸)  . Our approach is based on the mixing property of pL2(G(K )\G(𝔸))  which we obtain with a rate of convergence.


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