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Annales scientifiques de l’ENS, série 4 - Parutions - 41 - pages 337-383

Parutionssérie 4, 41

Trees and the dynamics of polynomials

Laura G. DeMARCO, Curtis T. McMULLEN

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4, 41, fascicule 3 (2008), 337-383

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Résumé :

Arbres et dynamique des polynômes

Dans ce travail, nous étudions des revêtements ramifiés d’arbres métriques simpliciaux pF : T → T  qui sont obtenus à partir d’applications polynomiales pf : ℂ → ℂ  possédant un ensemble de Julia non connexe. Nous montrons que la collection de tous ces arbres, à un facteur d’échelle près, forme un espace contractile pℙTD  qui compactifie l’espace des modules des polynômes de degré pD  . Nous montrons aussi que pF  enregistre le comportement asymptotique des multiplicateurs de pf  et que toute famille méromorphe de polynômes définis sur pΔ * peut être complétée par un unique arbre comme sa fibre centrale. Dans le cas cubique, nous donnons une énumération combinatoire des arbres ainsi obtenus et montrons que pℙT3  est lui-même un arbre.

Abstract :

In this paper we study branched coverings of metrized, simplicial trees pF : T → T  which arise from polynomial maps pf : ℂ → ℂ  with disconnected Julia sets. We show that the collection of all such trees, up to scale, forms a contractible space pℙTD  compactifying the moduli space of polynomials of degree pD  ; that pF  records the asymptotic behavior of the multipliers of pf  ; and that any meromorphic family of polynomials over pΔ* can be completed by a unique tree at its central fiber. In the cubic case we give a combinatorial enumeration of the trees that arise, and show that pℙT3  is itself a tree.


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