La propriété géométrique de petitesse (Borho-MacPherson) des morphismes projectifs implique une description de leurs singularités en termes d'homologie d'intersection. Dans cet article nous résolvons le problème de petitesse posée par Nakajima pour certaines résolutions de variétés carquois (analogues de la résolution de Springer): pour les modules de Kirillov-Reshetikhin des algèbres affines quantiques simplement lacées, nous caractérisons explicitement les polynômes de Drinfeld correspondant aux résolutions petites. Nous utilisons un théorème d'élimination pour les monômes des $q$-caractères de Frenkel-Reshetikhin, que nous établissons pour les algèbres affines quantiques non nécessairement simplement lacées. Nous étendons le résultat principal aux affinisées quantiques générales simplement lacées, en particulier aux algèbres toroïdales quantiques (algèbres quantiques doublement affines).