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Annales scientifiques de l’ENS, série 4 - Parutions - 41 - pages 271-306

Parutionssérie 4, 41

Smallness problem for quantum affine algebras and quiver varieties

David HERNANDEZ

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4, 41, fascicule 2 (2008), 271-306

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Résumé :

Problème de petitesse pour les algèbres affines quantiques et les variétés carquois

La propriété géométrique de petitesse (Borho-MacPherson [2]) des morphismes projectifs implique une description de leurs singularités en termes d’homologie d’intersection. Dans cet article nous résolvons le problème de petitesse posé par Nakajima [37], [35] pour certaines résolutions de variétés carquois [37] (analogues de la résolution de Springer): pour les modules de Kirillov-Reshetikhin des algèbres affines quantiques simplement lacées, nous caractérisons explicitement les polynômes de Drinfeld correspondant aux résolutions petites. Nous utilisons un théorème d’élimination pour les monômes des pq  -caractères de Frenkel-Reshetikhin, que nous établissons pour les algèbres affines quantiques non nécessairement simplement lacées. Nous raffinons également des résultats de [21] et étendons le résultat principal aux affinisées quantiques générales simplement lacées, en particulier aux algèbres toroïdales quantiques (algèbres quantiques doublement affines).

Abstract :

The geometric small property (Borho-MacPherson [2]) of projective morphisms implies a description of their singularities in terms of intersection homology. In this paper we solve the smallness problem raised by Nakajima [37], [35] for certain resolutions of quiver varieties [37] (analogs of the Springer resolution): for Kirillov-Reshetikhin modules of simply-laced quantum affine algebras, we characterize explicitly the Drinfeld polynomials corresponding to the small resolutions. We use an elimination theorem for monomials of Frenkel-Reshetikhin pq  -characters that we establish for non necessarily simply-laced quantum affine algebras. We also refine results of [21] and extend the main result to general simply-laced quantum affinizations, in particular to quantum toroidal algebras (double affine quantum algebras).

Class. math. : 17B37; 14L30, 81R50, 82B23, 17B67


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