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Annales scientifiques de l’ENS, série 4 - Parutions - 41 - pages 141-176

Parutionssérie 4, 41

Pourquoi les points périodiques des homéomorphismes du plan tournent-ils autour de certains points fixes ?

Patrice LE CALVEZ

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4, 41, fascicule 1 (2008), 141-176

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Résumé :

Soit pf  un homéomorphisme du plan qui préserve l’orientation et qui a un point périodique pz* de période pq ≥ 2  . Nous montrons qu’il existe un point fixe pz  tel que le nombre d’enlacement de pz* et pz  ne soit pas nul. En d’autres termes, le nombre de rotation de l’orbite de pz* dans l’anneau pℝ2 \{z} est un élément non nul de pℝ∕ℤ  . Ceci donne une réponse positive à une question posée par John Franks.

Mots clefs : Orbite périodique, homéomorphisme du plan, nombre d’enlacement, indice, feuilletage dynamiquement transverse

Abstract :

Why do periodic points of plane homeomorphisms turn around certain fixed points?

Let pf  be an orientation-preserving homeomorphism of the euclidean plane pℝ2  that has a periodic point pz* of period pq ≥ 2  . We prove the existence of a fixed point pz  such that the linking number between pz* and pz  is different from zero. That means that the rotation number of pz* in the annulus pℝ2 \ {z} is a non-zero element of pℝ∕ℤ  . This gives a positive answer to a question asked by John Franks.

Class. math. : 37C25, 37E30, 37E35 (37B25, 37B30)


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