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Annales scientifiques de l’ENS, série 4 - Parutions - 41 - pages 1-56

Parutionssérie 4, 41

Connected components of the strata of the moduli spaces of quadratic differentials

Erwan LANNEAU

ANNALES SCIENTIFIQUES DE L’ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, série 4, 41, fascicule 1 (2008), 1-56

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Résumé :

Composantes connexes des strates des espaces des modules des différentielles quadratiques

Dans des travaux maintenant classiques, Masur [14] et Veech [21] ont démontré indépendamment que le flot géodésique de Teichmüller est ergodique sur chaque composante connexe de chaque strate de l’espace des modules des différentielles quadratiques. Il devient dès lors intéressant d’avoir une description de ces composantes ergodiques. Veech a montré que ces strates ne sont pas nécessairement connexes. Dans un article récent, Kontsevich et Zorich [8] donnent une description complète des composantes dans le cas particulier où les différentielles quadratiques sont données par le carré de différentielles abéliennes.

Dans cet article, nous considérons le cas complémentaire. Dans un précédent article [11], nous montrions que les strates ne sont pas forcément connexes. Nous donnions une série de strates non-connexes possédant des composantes connexes hyperelliptiques. Dans cet article, nous démontrons le théorème général annoncé dans [11] : excepté quatre cas particuliers en petits genres, les strates de l’espace des modules des différentielles quadratiques ont au plus deux composantes connexes, les cas de non-connexité étant décrits exactement par [11] : une composante est hyperelliptique, l’autre non.

Notre preuve repose principalement sur une nouvelle approche des différentielles quadratiques de type Jenkins-Strebel, à savoir la notion de permutations généralisées.

Abstract :

In two fundamental classical papers, Masur [14] and Veech [21] have independently proved that the Teichmüller geodesic flow acts ergodically on each connected component of each stratum of the moduli space of quadratic differentials. It is therefore interesting to have a classification of the ergodic components. Veech has proved that these strata are not necessarily connected. In a recent work [8], Kontsevich and Zorich have completely classified the components in the particular case where the quadratic differentials are given by the global square of Abelian differentials.

Here we are interested in the complementary case. In a previous paper [11], we have described some particular components, namely the hyperelliptic connected components and showed that some strata are non-connected. In this paper, we give the general classification theorem: up to four exceptional cases in low genera, the strata of meromorphic quadratic differentials are either connected, or have exactly two connected components where one component is hyperelliptic, the other not. This result was announced in the paper [11].

Our proof is based on a new approach of the so-called Jenkins-Strebel differential. We will present and use the notion of generalized permutations.

Keywords : Quadratic differentials, moduli space, measured foliations, Teichmüller geodesic flow

Class. math. : 32G15 (30F30, 57R30, 37D40)


Bibliographie :

1
Boissy, C. and Lanneau, Erwan
Dynamics and geometry of the Rauzy-Veech induction for quadratic differentials
2007, preprint arXiv:0710.5614
2
Douady, A. and Hubbard, John
On the density of Strebel differentials
Invent. Math., 30 (1975) 175–179
Math Reviews 396936
Zentralblatt 371.30017
3
Eskin, Alex and Masur, Howard and Zorich, Anton
Moduli spaces of abelian differentials: the principal boundary, counting problems, and the Siegel-Veech constants
Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci., 97 (2003) 61–179
Math Reviews 2010740
Zentralblatt 1037.32013
4
Fathi, A. and Masur, Howard and Poenaru, V.
Travaux de Thurston sur les surfaces
Soc. Math. France, 1979
Math Reviews 568308
Zentralblatt 406.00016
5
Hubbard, John and Masur, Howard
Quadratic differentials and foliations
Acta Math., 142 (1979) 221–274
Math Reviews 523212
Zentralblatt 415.30038
6
Keane, Michael
Interval exchange transformations
Math. Z., 141 (1975) 25–31
Math Reviews 357739
Zentralblatt 278.28010
7
Kerckhoff, Steven and Masur, Howard and Smillie, John
Ergodicity of billiard flows and quadratic differentials
Ann. of Math., 124 (1986) 293–311
Math Reviews 855297
Zentralblatt 637.58010
8
Kontsevich, Maxim and Zorich, Anton
Connected components of the moduli spaces of Abelian differentials with prescribed singularities
Invent. Math., 153 (2003) 631–678
Math Reviews 2000471
Zentralblatt 1087.32010
9
Kontsevich, Maxim and Zorich, Anton
Lyapunov exponents and Hodge theory
2007, preprint arXiv:hep-th/9701164v1
10
Lanneau, Erwan
Classification of connected components of the strata of the moduli spaces of quadratic differentials with prescribed singularities
thèse, Université de Rennes 1, 2003
11
Lanneau, Erwan
Hyperelliptic components of the moduli spaces of quadratic differentials with prescribed singularities
Comment. Math. Helv., 79 (2004) 471–501
Math Reviews 2081723
12
Lanneau, Erwan
Parity of the spin structure defined by a quadratic differential
Geom. Topol., 8 (2004) 511–538
Math Reviews 2057772
Zentralblatt 1064.32010
13
Masur, Howard
The Jenkins-Strebel differentials with one cylinder are dense
Comment. Math. Helv., 54 (1979) 179–184
Math Reviews 535053
Zentralblatt 407.30036
14
Masur, Howard
Interval exchange transformations and measured foliations
Ann. of Math., 115 (1982) 169–200
Math Reviews 644018
Zentralblatt 497.28012
15
Masur, Howard and Smillie, John
Quadratic differentials with prescribed singularities and pseudo-Anosov diffeomorphisms
Comment. Math. Helv., 68 (1993) 289–307
Math Reviews 1214233
Zentralblatt 792.30030
16
Masur, Howard and Tabachnikov, Serge
Rational billiards and flat structures
in Handbook of dynamical systems, Vol. 1A, North-Holland, 2002
Math Reviews 1928530
Zentralblatt 1057.37034
17
Masur, Howard and Zorich, Anton
Moduli Spaces of quadratic differentials: The Principal Boundary, Counting Problems and the Siegel–Veech Constants
3000effacer, GAFA to appear
18
Rauzy, Gérard
Échanges d’intervalles et transformations induites
Acta Arith., 34 (1979) 315–328
Math Reviews 543205
Zentralblatt 414.28018
19
Strebel, Kurt
Quadratic differentials
Springer, 1984
Math Reviews 743423
Zentralblatt 547.30038
20
Thurston, William P.
On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces
Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 19 (1988) 417–431
Math Reviews 956596
Zentralblatt 674.57008
21
Veech, William A.
Gauss measures for transformations on the space of interval exchange maps
Ann. of Math., 115 (1982) 201–242
Math Reviews 644019
Zentralblatt 486.28014
22
Veech, William A.
The Teichmüller geodesic flow
Ann. of Math., 124 (1986) 441–530
Math Reviews 866707
Zentralblatt 658.32016
23
Veech, William A.
Moduli spaces of quadratic differentials
J. Analyse Math., 55 (1990) 117–171
Math Reviews 1094714
Zentralblatt 722.30032
24
Zorich, Anton
Flat surfaces
in Frontiers in number theory, physics, and geometry. I, Springer, 2006
Math Reviews 2261104
Zentralblatt 1113.32004
25
Zorich, Anton
Explicit Jenkins–Strebel representatives of all strata of Abelian and quadratic differentials
3000effacer, Journal of Modern Dynamics, to appear
26
Zorich, Anton
Rauzy-Veech induction, Rauzy classes, generalized permutations on Mathematica
3000effacer, http://perso.univ-rennes1.fr/anton.zorich